Rumus Persamaan Lingkaran: Cara Mudah Menghitung Luas Dan Keliling Dengan Exact Keyword

Rumus Persamaan Lingkaran

Lingkaran adalah bangun datar yang terbentuk dari sekeliling titik pusat yang sama jaraknya dengan lingkarannya. Lingkaran memiliki sifat-sifat khusus seperti diameter, jari-jari, dan keliling. Salah satu hal yang perlu dipahami dalam matematika adalah rumus persamaan lingkaran. Rumus ini berguna untuk menghitung posisi dan bentuk lingkaran yang berbeda-beda. Berikut ini adalah pembahasan lengkap mengenai rumus persamaan lingkaran.

Definisi Lingkaran

Lingkaran adalah bangun datar yang terbentuk oleh setiap titik pada bidang yang sama jaraknya dari suatu titik yang disebut pusat. Jarak ini disebut sebagai jari-jari lingkaran dan dilambangkan dengan r. Rumus jari-jari lingkaran adalah sebagai berikut:

r = (1/2) d

dalam rumus tersebut, d adalah diameter lingkaran yang merupakan garis yang melintasi pusat lingkaran dan memiliki panjang dua kali jari-jari.

Persamaan Umum Lingkaran

Persamaan umum lingkaran adalah persamaan yang digunakan untuk mencari pusat dan jari-jari lingkaran. Persamaan ini memiliki bentuk umum sebagai berikut:

(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2

dalam persamaan tersebut, a dan b adalah koordinat titik pusat lingkaran, sedangkan r adalah jari-jari lingkaran. Untuk mencari persamaan lingkaran, kita perlu mengetahui nilai a, b, dan r.

Cara Mencari Persamaan Lingkaran

Untuk mencari persamaan lingkaran, terdapat beberapa langkah yang perlu dilakukan, yaitu:

1. Tentukan koordinat pusat lingkaran (a,b)

Untuk menentukan koordinat pusat lingkaran, kita perlu mengetahui titik pusat lingkaran yang dapat ditentukan dari rumus jari-jari lingkaran. Misalnya, jika jari-jari lingkaran adalah 4 dan titik tengahnya berada pada koordinat (3,5), maka koordinat pusat lingkaran adalah (3,5).

2. Tentukan jari-jari lingkaran (r)

Setelah mengetahui koordinat pusat lingkaran, kita perlu menentukan jari-jari lingkaran. Jari-jari lingkaran merupakan jarak antara titik pusat lingkaran dengan titik pada lingkaran. Misalnya, jika titik pusat lingkaran berada pada koordinat (3,5) dan titik pada lingkaran berada pada koordinat (6,8), maka jarak antara kedua titik tersebut adalah 5. Oleh karena itu, jari-jari lingkaran adalah 5.

3. Terapkan rumus persamaan lingkaran

Setelah mengetahui koordinat pusat lingkaran dan jari-jari lingkaran, kita dapat menerapkan rumus persamaan lingkaran. Persamaan lingkaran dapat ditulis sebagai berikut:

(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2

dalam persamaan tersebut, x dan y merupakan koordinat titik pada lingkaran. Untuk contoh di atas, persamaan lingkaran adalah sebagai berikut:

(x-3)^2 + (y-5)^2 = 25

Persamaan Lingkaran dalam Bentuk Umum

Persamaan lingkaran juga dapat ditulis dalam bentuk umum yaitu:

x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0

dalam persamaan tersebut, D, E, dan F adalah konstanta yang dapat ditentukan dari koordinat pusat lingkaran dan jari-jari lingkaran. Untuk mencari nilai D, E, dan F, kita dapat menggunakan rumus berikut:

D = -2a
E = -2b
F = a^2 + b^2 – r^2

dalam rumus tersebut, a dan b merupakan koordinat pusat lingkaran, sedangkan r merupakan jari-jari lingkaran. Oleh karena itu, jika koordinat pusat lingkaran adalah (3,5) dan jari-jari lingkaran adalah 5, maka persamaan lingkaran dalam bentuk umum adalah:

x^2 + y^2 – 6x – 10y + 9 = 0

Sifat-sifat Lingkaran

Lingkaran memiliki beberapa sifat khusus, yaitu:

1. Sifat Jari-jari

Jari-jari lingkaran merupakan jarak antara titik pusat lingkaran dengan titik pada lingkaran. Setiap titik pada lingkaran memiliki jarak yang sama dengan titik pusat lingkaran. Oleh karena itu, jari-jari lingkaran ditulis sebagai r.

2. Sifat Diameter

Diameter lingkaran merupakan garis yang melintasi pusat lingkaran dan memiliki panjang dua kali jari-jari. Oleh karena itu, diameter lingkaran ditulis sebagai d = 2r.

3. Sifat Keliling

Keliling lingkaran merupakan jumlah panjang lengkung lingkaran. Rumus keliling lingkaran adalah K = 2πr atau K = πd, di mana π (pi) adalah bilangan konstan yang bernilai 3,14.

4. Sifat Luas

Luas lingkaran merupakan luas bidang yang dibatasi oleh lingkaran. Rumus luas lingkaran adalah L = πr^2.

Contoh Soal

Berikut ini adalah contoh soal mengenai rumus persamaan lingkaran beserta penyelesaiannya.

Contoh 1:
Tentukan persamaan umum lingkaran dengan pusat (5,-3) dan jari-jari 7.

Penyelesaian:
1. Tentukan nilai a dan b
a = 5 dan b = -3

2. Tentukan nilai r
r = 7

3. Terapkan rumus persamaan lingkaran
(x-5)^2 + (y+3)^2 = 49

Sehingga persamaan umum lingkaran adalah:
x^2 + y^2 – 10x + 6y + 15 = 0

Contoh 2:
Tentukan persamaan lingkaran yang melalui titik (3,1) dan (5,7).

Penyelesaian:
1. Tentukan titik pusat lingkaran
Titik tengah garis yang menghubungkan (3,1) dan (5,7) adalah ((3+5)/2, (1+7)/2) = (4,4)

2. Tentukan jari-jari lingkaran
Jarak antara titik pusat lingkaran dan titik (5,7) adalah akar[(5-4)^2 + (7-4)^2] = akar[2^2 + 3^2] = akar[13]

Oleh karena itu, jari-jari lingkaran adalah akar[13].

3. Terapkan rumus persamaan lingkaran
(x-4)^2 + (y-4)^2 = 13

Sehingga persamaan lingkaran adalah:
x^2 + y^2 – 8x – 8y + 16 = 0

Kesimpulan

Rumus persamaan lingkaran sangat penting untuk dipahami dalam matematika. Rumus ini berguna untuk menghitung posisi dan bentuk lingkaran yang berbeda-beda. Terdapat dua jenis persamaan lingkaran, yaitu persamaan umum dan persamaan dalam bentuk umum. Sifat-sifat lingkaran seperti jari-jari, diameter, keliling, dan luas juga perlu dipahami untuk memahami karakteristik lingkaran. Dengan memahami rumus persamaan lingkaran, kita dapat menyelesaikan berbagai masalah matematika yang melibatkan lingkaran.