Rumus Limit Trigonometri

Trigonometri adalah salah satu cabang matematika yang mempelajari tentang hubungan antara sudut dan sisi segitiga. Rumus limit trigonometri adalah salah satu rumus dalam trigonometri yang digunakan untuk menyelesaikan soal limit yang melibatkan fungsi trigonometri. Pada pembahasan ini, akan dijelaskan mengenai rumus limit trigonometri beserta contoh soal dan penyelesaiannya.

Definisi Limit

Sebelum membahas rumus limit trigonometri, kita harus memahami terlebih dahulu apa itu limit. Limit adalah nilai yang dihampiri oleh suatu fungsi ketika variabelnya mendekati suatu titik tertentu. Dalam matematika, limit sering digunakan untuk menentukan suatu fungsi apakah berkelanjutan atau tidak pada suatu titik.

Rumus Limit Trigonometri Dasar

Rumus limit trigonometri dasar melibatkan fungsi-fungsi trigonometri dasar seperti sin, cos, dan tan. Berikut adalah rumus limit trigonometri dasar:

1. $lim_{x to 0} frac{sin x}{x} = 1$
2. $lim_{x to 0} frac{cos x – 1}{x} = 0$
3. $lim_{x to 0} frac{tan x}{x} = 1$
4. $lim_{x to 0} frac{1 – cos x}{x^2} = frac{1}{2}$
5. $lim_{x to 0} frac{sin ax}{sin bx} = frac{a}{b}$ jika $frac{a}{b}$ adalah bilangan bulat

Penjelasan Rumus Limit Trigonometri Dasar

1. $lim_{x to 0} frac{sin x}{x} = 1$

Rumus ini digunakan untuk menyelesaikan limit fungsi $frac{sin x}{x}$ ketika $x$ mendekati $0$. Kita dapat menunjukkan bukti rumus ini dengan menggunakan konsep turunan. Dengan menggunakan aturan turunan, kita dapat menunjukkan bahwa $frac{d}{dx} sin x = cos x$. Dengan membagi kedua sisi persamaan dengan $dx$, kita dapat menuliskan:

$frac{d}{dx} sin x = cos x$
$frac{sin x}{dx} = cos x$
$frac{sin x}{x} = cos x$ saat $x to 0$

Kita tahu bahwa $cos 0 = 1$ sehingga $lim_{x to 0} cos x = 1$. Oleh karena itu, hasil dari limit fungsi $frac{sin x}{x}$ saat $x$ mendekati $0$ adalah $1$.

2. $lim_{x to 0} frac{cos x – 1}{x} = 0$

Rumus ini digunakan untuk menyelesaikan limit fungsi $frac{cos x – 1}{x}$ ketika $x$ mendekati $0$. Kita dapat menunjukkan bukti rumus ini dengan menggunakan konsep turunan. Dengan menggunakan aturan turunan, kita dapat menunjukkan bahwa $frac{d}{dx} cos x = -sin x$. Dengan membagi kedua sisi persamaan dengan $dx$, kita dapat menuliskan:

$frac{d}{dx} cos x = -sin x$
$frac{cos x}{dx} = -sin x$
$frac{cos x – 1}{x} = -sin x$ saat $x to 0$

Kita tahu bahwa $sin 0 = 0$ sehingga $lim_{x to 0} sin x = 0$. Oleh karena itu, hasil dari limit fungsi $frac{cos x – 1}{x}$ saat $x$ mendekati $0$ adalah $0$.

3. $lim_{x to 0} frac{tan x}{x} = 1$

Rumus ini digunakan untuk menyelesaikan limit fungsi $frac{tan x}{x}$ ketika $x$ mendekati $0$. Kita dapat menunjukkan bukti rumus ini dengan menggunakan pemecahan masalah. Kita dapat menuliskan fungsi $tan x$ sebagai $frac{sin x}{cos x}$ sehingga:

$lim_{x to 0} frac{tan x}{x} = lim_{x to 0} frac{frac{sin x}{cos x}}{x} = lim_{x to 0} frac{sin x}{x} cdot frac{1}{cos x}$

Kita sudah tahu bahwa $lim_{x to 0} frac{sin x}{x} = 1$ dari rumus 1 dan $lim_{x to 0} cos x = 1$. Oleh karena itu, hasil dari limit fungsi $frac{tan x}{x}$ saat $x$ mendekati $0$ adalah $1$.

4. $lim_{x to 0} frac{1 – cos x}{x^2} = frac{1}{2}$

Rumus ini digunakan untuk menyelesaikan limit fungsi $frac{1 – cos x}{x^2}$ ketika $x$ mendekati $0$. Kita dapat menunjukkan bukti rumus ini dengan menggunakan konsep turunan. Dengan menggunakan aturan turunan, kita dapat menunjukkan bahwa $frac{d}{dx} cos x = -sin x$. Dengan membagi kedua sisi persamaan dengan $dx$, kita dapat menuliskan:

$frac{d}{dx} cos x = -sin x$
$frac{cos x}{dx} = -sin x$
$frac{cos x – 1}{x^2} = -frac{sin x}{x} cdot frac{1}{x}$ saat $x to 0$

Kita tahu bahwa $lim_{x to 0} frac{sin x}{x} = 1$ dari rumus 1. Oleh karena itu, hasil dari limit fungsi $frac{1 – cos x}{x^2}$ saat $x$ mendekati $0$ adalah $frac{1}{2}$.

5. $lim_{x to 0} frac{sin ax}{sin bx} = frac{a}{b}$ jika $frac{a}{b}$ adalah bilangan bulat

Rumus ini digunakan untuk menyelesaikan limit fungsi $frac{sin ax}{sin bx}$ ketika $x$ mendekati $0$ dan $frac{a}{b}$ adalah bilangan bulat. Kita dapat menunjukkan bukti rumus ini dengan menggunakan pemecahan masalah. Kita dapat menuliskan fungsi $sin ax$ dan $sin bx$ sebagai:

$sin ax = asin x – frac{a^3}{3!} sin^3 x + frac{a^5}{5!} sin^5 x – …$
$sin bx = bsin x – frac{b^3}{3!} sin^3 x + frac{b^5}{5!} sin^5 x – …$

Kita dapat menggunakan aturan limit penjumlahan untuk menuliskan:

$lim_{x to 0} frac{sin ax}{sin bx} = lim_{x to 0} frac{frac{asin x – frac{a^3}{3!} sin^3 x + frac{a^5}{5!} sin^5 x – …}{x}}{frac{bsin x – frac{b^3}{3!} sin^3 x + frac{b^5}{5!} sin^5 x – …}{x}}$

Kita dapat merapikan persamaan dengan membagi setiap suku dengan $x$ dan menghilangkan suku-suku yang tidak relevan:

$lim_{x to 0} frac{sin ax}{sin bx} = lim_{x to 0} frac{a – frac{a^3}{3!} sin^2 x + frac{a^5}{5!} sin^4 x – …}{b – frac{b^3}{3!} sin^2 x + frac{b^5}{5!} sin^4 x – …}$

Kita dapat melakukan penggabungan suku-suku yang sejenis sehingga kita dapat menuliskan:

$lim_{x to 0} frac{sin ax}{sin bx} = frac{a}{b}$

Oleh karena itu, hasil dari limit fung