Bicara Fakta Informasi Berita Terkini, Berita Terbaru dan Berita Hari Ini
Daftar Isi
Pendahuluan
Rumus Jumlah Deret Geometri adalah rumus untuk menghitung jumlah dari suatu deret bilangan geometri. Deret bilangan geometri adalah deret bilangan dimana setiap suku dalam deret tersebut merupakan hasil kali suku sebelumnya dengan suatu rasio atau rasio tetap. Rumus Jumlah Deret Geometri sangat berguna dalam matematika, terutama dalam menghitung jumlah suatu deret bilangan geometri yang memiliki banyak suku.
Rumus Jumlah Deret Geometri
Rumus Jumlah Deret Geometri adalah sebagai berikut:
S_n = a_1 * [(1-r^n)/(1-r)]
Keterangan:
– S_n = Jumlah deret ke-n
– a_1 = Suku pertama dalam deret
– r = Rasio atau rasio tetap
– n = Jumlah suku dalam deret
Cara Menggunakan Rumus Jumlah Deret Geometri
Untuk menggunakan Rumus Jumlah Deret Geometri, langkah-langkahnya adalah sebagai berikut:
1. Tentukan suku pertama dalam deret (a_1)
2. Tentukan rasio atau rasio tetap (r)
3. Tentukan jumlah suku dalam deret (n)
4. Masukkan nilai a_1, r, dan n ke dalam rumus Jumlah Deret Geometri
5. Hitung nilai S_n
Contoh:
Hitunglah jumlah dari deret bilangan geometri berikut: 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512.
a_1 = 1
r = 2
n = 10
S_n = a_1 * [(1-r^n)/(1-r)] S_n = 1 * [(1-2^10)/(1-2)] S_n = 1 * [-1023/-1] S_n = 1023
Jadi, jumlah dari deret bilangan geometri tersebut adalah 1023.
Bukti Rumus Jumlah Deret Geometri
Bukti rumus Jumlah Deret Geometri dapat dilakukan dengan menggunakan induksi matematika.
Berikut adalah bukti induksi matematika untuk rumus Jumlah Deret Geometri:
– Langkah induksi: untuk n = 1, rumus Jumlah Deret Geometri dapat ditulis sebagai berikut:
S_1 = a_1 * [(1-r^1)/(1-r)]
S_1 = a_1 * (0/0)
S_1 = a_1 * 0
S_1 = 0
– Langkah induksi: asumsikan bahwa rumus Jumlah Deret Geometri benar untuk n = k, yaitu:
S_k = a_1 * [(1-r^k)/(1-r)]
– Langkah induksi: kita akan membuktikan bahwa rumus Jumlah Deret Geometri juga benar untuk n = k+1, yaitu:
S_(k+1) = a_1 * [(1-r^(k+1))/(1-r)]
Dalam rangka membuktikan hal ini, kita dapat menggunakan rumus Jumlah Deret Geometri untuk n = k dan n = k+1, seperti berikut:
S_k = a_1 * [(1-r^k)/(1-r)]
S_(k+1) = a_1 * [(1-r^(k+1))/(1-r)]
Kita juga dapat menuliskan S_(k+1) sebagai berikut:
S_(k+1) = S_k + a_(k+1)
Dalam hal ini, a_(k+1) adalah suku ke-(k+1) dalam deret.
Kita dapat menggabungkan rumus Jumlah Deret Geometri untuk n = k dan n = k+1, serta menggunakan S_(k+1) = S_k + a_(k+1), sehingga didapat:
S_(k+1) = a_1 * [(1-r^k)/(1-r)] + a_(k+1)
S_(k+1) = a_1 * [(1-r^k)/(1-r)] + a_1 * r^k * r
S_(k+1) = a_1 * [(1-r^k)/(1-r)] + a_1 * r^(k+1)
S_(k+1) = a_1 * [(1-r^k)/(1-r) + r^(k+1)/(1-r)]
S_(k+1) = a_1 * [(1-r^k+r^(k+1))/(1-r)]
S_(k+1) = a_1 * [(1-r^(k+1))/(1-r)]
Sehingga, rumus Jumlah Deret Geometri benar untuk n = k+1.
Dengan demikian, rumus Jumlah Deret Geometri telah terbukti dengan induksi matematika.
Kesimpulan
Rumus Jumlah Deret Geometri adalah rumus yang digunakan untuk menghitung jumlah dari suatu deret bilangan geometri. Deret bilangan geometri adalah deret bilangan dimana setiap suku dalam deret tersebut merupakan hasil kali suku sebelumnya dengan suatu rasio atau rasio tetap. Rumus Jumlah Deret Geometri sangat berguna dalam matematika, terutama dalam menghitung jumlah suatu deret bilangan geometri yang memiliki banyak suku. Langkah-langkah untuk menggunakan rumus Jumlah Deret Geometri adalah menentukan suku pertama dalam deret, rasio atau rasio tetap, dan jumlah suku dalam deret, kemudian memasukkan nilai-nilai tersebut ke dalam rumus dan menghitung hasilnya. Rumus Jumlah Deret Geometri telah dibuktikan dengan induksi matematika.
