Rumus Invers Matriks: Teknik Menghitung Matriks Balikan Dengan Mudah

Rumus Invers Matriks

Matriks adalah salah satu konsep yang sering digunakan dalam matematika. Matriks adalah sebuah tabel berukuran n x m yang terdiri dari bilangan-bilangan. n dan m merupakan ukuran matriks, yang menunjukkan jumlah baris dan kolom pada tabel tersebut. Matriks biasanya digunakan untuk melakukan operasi matematika seperti penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan juga invers.

Invers matriks adalah sebuah matriks yang jika dikalikan dengan matriks awal akan menghasilkan matriks identitas. Matriks identitas adalah matriks yang elemennya di diagonal utama berisi angka 1, dan elemen lainnya diisi dengan angka 0. Invers matriks sering digunakan dalam perhitungan aljabar linear dan matematika.

Untuk menghitung invers matriks, kita perlu menggunakan rumus yang sudah ada. Berikut ini adalah penjelasan mengenai rumus invers matriks beserta langkah-langkahnya.

Rumus Invers Matriks

Rumus invers matriks adalah sebagai berikut:

A^(-1) = (1/|A|) adj(A)

Di mana:

A^(-1) adalah invers matriks dari matriks A
|A| adalah determinan dari matriks A
adj(A) adalah matriks adjoin dari matriks A

Langkah-langkah untuk menghitung invers matriks adalah sebagai berikut:

Langkah 1: Hitung determinan matriks A

Determinan matriks A dapat dihitung dengan menggunakan metode kofaktor atau metode reduksi baris. Dalam artikel ini, kita akan menggunakan metode kofaktor.

Rumus untuk menghitung determinan matriks A dengan metode kofaktor adalah sebagai berikut:

|A| = a11C11 + a12C12 + … + a1nC1n

Di mana:

a11, a12, …, a1n adalah elemen baris pertama pada matriks A
C11, C12, …, C1n adalah kofaktor baris pertama pada matriks A

Kofaktor baris pertama dapat dihitung dengan rumus berikut:

C11 = (-1)^(1+1) M11
C12 = (-1)^(1+2) M12
…
C1n = (-1)^(1+n) Mn1

Di mana:

M11, M12, …, Mn1 adalah matriks minor dari matriks A dengan baris pertama dan kolom ke-n dihapus.

Matriks minor dapat dihitung dengan cara menghapus baris dan kolom yang sesuai dengan elemen yang ingin dihapus. Contohnya, jika kita ingin menghapus elemen a11 pada matriks A, maka kita harus menghapus baris pertama dan kolom pertama pada matriks A. Matriks minor akan terdiri dari elemen-elemen yang tersisa setelah baris dan kolom dihapus.

Untuk menghitung determinan matriks A dengan metode kofaktor, kita perlu menghitung kofaktor untuk setiap elemen pada baris pertama matriks A, kemudian menjumlahkan hasilnya. Setelah itu, kita perlu mengalikan setiap kofaktor dengan elemen yang sesuai pada baris pertama matriks A, kemudian menjumlahkan hasilnya untuk mendapatkan determinan matriks A.

Contoh:

Misalkan kita memiliki matriks A berikut:

| 1 2 |
| 3 4 |

Kita dapat menghitung determinan matriks A dengan metode kofaktor sebagai berikut:

C11 = (-1)^(1+1) M11 = 1
C12 = (-1)^(1+2) M12 = -2
C21 = (-1)^(2+1) M21 = -3
C22 = (-1)^(2+2) M22 = 1

M11 = 4
M12 = 3
M21 = 2
M22 = 1

|A| = a11C11 + a12C12
= (1)(1) + (2)(-2)
= -3

Jadi, determinan matriks A adalah -3.

Langkah 2: Hitung matriks adjoin A

Matriks adjoin dari matriks A adalah matriks yang elemen-elemennya adalah kofaktor dari matriks A yang sudah ditranspose. Matriks adjoin biasanya dinyatakan dengan simbol adj(A).

Rumus untuk menghitung matriks adjoin A adalah sebagai berikut:

adj(A) = [Cij]T

Di mana:

[Cij] adalah kofaktor dari elemen aij pada matriks A.

Kita perlu menghitung kofaktor untuk setiap elemen pada matriks A, kemudian menuliskannya dalam bentuk matriks. Setelah itu, kita perlu mentranspose matriks tersebut untuk mendapatkan matriks adjoin A.

Contoh:

Misalkan kita memiliki matriks A berikut:

| 1 2 |
| 3 4 |

Kita sudah menghitung kofaktor untuk setiap elemen pada matriks A pada langkah sebelumnya. Kofaktor tersebut adalah sebagai berikut:

C11 = 1
C12 = -2
C21 = -3
C22 = 1

Kita dapat menuliskan kofaktor tersebut dalam bentuk matriks sebagai berikut:

| 1 -2 |
|-3 1 |

Setelah itu, kita perlu mentranspose matriks tersebut untuk mendapatkan matriks adjoin A. Matriks adjoin A untuk matriks A di atas adalah sebagai berikut:

adj(A) = | 1 -3 |
|-2 1 |

Langkah 3: Hitung invers matriks A

Setelah kita menghitung determinan matriks A dan matriks adjoin A, kita dapat menghitung invers matriks A dengan menggunakan rumus invers matriks yang sudah dijelaskan sebelumnya:

A^(-1) = (1/|A|) adj(A)

Di mana:

A^(-1) adalah invers matriks dari matriks A
|A| adalah determinan dari matriks A
adj(A) adalah matriks adjoin dari matriks A

Kita perlu mengalikan 1/determinan matriks A dengan matriks adjoin A untuk mendapatkan invers matriks A.

Contoh:

Misalkan kita memiliki matriks A berikut:

| 1 2 |
| 3 4 |

Kita sudah menghitung determinan matriks A dan matriks adjoin A pada langkah-langkah sebelumnya. Determinan matriks A adalah -3, dan matriks adjoin A adalah sebagai berikut:

adj(A) = | 1 -3 |
|-2 1 |

Kita dapat menghitung invers matriks A dengan menggunakan rumus invers matriks sebagai berikut:

A^(-1) = (1/|A|) adj(A)
= (1/-3) | 1 -3 |
|-2 1 |
= |-1/3 1 |
| 2/3 -1 |

Jadi, invers matriks A untuk matriks di atas adalah sebagai berikut:

| -1/3 1 |
| 2/3 -1 |

Kesimpulan

Menghitung invers matriks adalah salah satu konsep yang penting dalam matematika, terutama dalam perhitungan aljabar linear. Untuk menghitung invers matriks, kita perlu menggunakan rumus yang sudah ada, yaitu:

A^(-1) = (1/|A|) adj(A)

Di mana:

A^(-1) adalah invers matriks dari matriks A
|A| adalah determinan dari matriks A
adj(A) adalah matriks adjoin dari matriks A

Langkah-langkah untuk menghitung invers matriks adalah sebagai berikut:

1. Hitung determinan matriks A
2. Hitung matriks adjoin A
3. Hitung invers matriks A dengan menggunakan rumus invers matriks

Dengan mengikuti langkah-langkah di atas, kita dapat menghitung invers matriks dengan mudah dan akurat.