Rumus Identitas Trigonometri Lengkap: Menyelesaikan Persamaan Trigonometri Dengan Akurat

Rumus Identitas Trigonometri Lengkap atau yang biasa disebut dengan rumus trigonometri adalah kumpulan rumus yang digunakan untuk menyelesaikan soal yang berkaitan dengan segitiga dan sudut. Dalam matematika, trigonometri sangat penting karena banyak digunakan dalam kehidupan sehari-hari, seperti dalam teknologi, fisika, dan sebagainya. Pada artikel ini, akan dibahas mengenai rumus identitas trigonometri lengkap beserta contoh soalnya.

Pengenalan Rumus Identitas Trigonometri Lengkap

Rumus identitas trigonometri lengkap adalah kumpulan rumus yang digunakan untuk menjelaskan hubungan antara fungsi trigonometri, yaitu sin, cos, dan tan. Ada beberapa rumus identitas trigonometri lengkap yang harus diketahui, antara lain:

1. Sinus

Sinus atau sin adalah rasio antara sisi segitiga yang bersebrangan dengan sudut tersebut dan sisi miring. Rumus sinus adalah sebagai berikut:

sin A = a/c

Dalam rumus tersebut, A adalah sudut yang dimaksud, a adalah sisi yang bersebrangan dengan sudut A, dan c adalah sisi miring.

2. Cosinus

Cosinus atau cos adalah rasio antara sisi segitiga yang bersebrangan dengan sudut tersebut dan sisi yang sejajar dengan garis yang mengandung sudut tersebut. Rumus cosinus adalah sebagai berikut:

cos A = b/c

Dalam rumus tersebut, A adalah sudut yang dimaksud, b adalah sisi yang bersebrangan dengan sudut A, dan c adalah sisi miring.

3. Tangen

Tangen atau tan adalah rasio antara sisi segitiga yang bersebrangan dengan sudut tersebut dan sisi yang sejajar dengan garis yang tegak lurus dengan garis yang mengandung sudut tersebut. Rumus tangen adalah sebagai berikut:

tan A = a/b

Dalam rumus tersebut, A adalah sudut yang dimaksud, a adalah sisi yang bersebrangan dengan sudut A, dan b adalah sisi yang sejajar dengan garis yang tegak lurus dengan garis yang mengandung sudut A.

Rumus Identitas Trigonometri Lengkap

Setelah mempelajari rumus dasar trigonometri seperti sin, cos, dan tan, selanjutnya adalah mempelajari rumus identitas trigonometri lengkap. Berikut adalah rumus identitas trigonometri lengkap:

1. Sinus dan Cosinus

sin^2 A + cos^2 A = 1

Rumus ini dikenal sebagai Pythagorean trigonometric identity. Pythagorean berasal dari nama Pythagoras, seorang matematikawan Yunani kuno yang dikenal dengan teorema Pythagoras.

2. Tangen dan Secan

tan A = sin A / cos A

sec A = 1 / cos A

sec A = 1 / cos A = cos A / cos A

sec A = cos A / sin A = 1 / sin A

Rumus ini berguna untuk mengubah rumus tangen menjadi rumus sinus dan cosinus, serta untuk mengubah rumus secan menjadi rumus sinus dan cosinus.

3. Cotangen dan Cosecan

cot A = cos A / sin A

cosec A = 1 / sin A

cosec A = 1 / sin A = sin A / sin A

cosec A = sin A / cos A = 1 / cos A

Rumus ini berguna untuk mengubah rumus cotangen menjadi rumus sinus dan cosinus, serta untuk mengubah rumus cosecan menjadi rumus sinus dan cosinus.

4. Sinus dan Cosinus dari Sudut Tambahan

sin (A + B) = sin A cos B + cos A sin B

cos (A + B) = cos A cos B – sin A sin B

Rumus ini sangat berguna untuk menyelesaikan soal trigonometri yang berkaitan dengan sudut tambahan.

5. Sinus dan Cosinus dari Sudut Setengah dari Sudut Tertentu

sin (A/2) = ± √ [(1 – cos A)/2]

cos (A/2) = ± √ [(1 + cos A)/2]

Rumus ini berguna untuk menyelesaikan soal trigonometri yang berkaitan dengan sudut setengah dari sudut tertentu.

6. Sinus dan Cosinus dari Sudut Ganda

sin (2A) = 2sin A cos A

cos (2A) = cos^2 A – sin^2 A

Rumus ini berguna untuk menyelesaikan soal trigonometri yang berkaitan dengan sudut ganda.

7. Tangen dan Cotangen dari Sudut Tambahan

tan (A + B) = (tan A + tan B) / (1 – tan A tan B)

cot (A + B) = (cot A cot B – 1) / (cot A + cot B)

Rumus ini berguna untuk menyelesaikan soal trigonometri yang berkaitan dengan sudut tambahan.

8. Tangen dan Cotangen dari Sudut Ganda

tan (2A) = 2 tan A / (1 – tan^2 A)

cot (2A) = (cot^2 A – 1) / 2cot A

Rumus ini berguna untuk menyelesaikan soal trigonometri yang berkaitan dengan sudut ganda.

Contoh Soal dan Penyelesaiannya

Setelah mempelajari rumus identitas trigonometri lengkap, selanjutnya adalah mempelajari contoh soal dan penyelesaiannya. Berikut adalah beberapa contoh soal yang dapat dibahas.

1. Hitung nilai cos 45°

Penyelesaian:

Dalam segitiga sama sisi, sudut 45° memiliki nilai cosinus 0,5 atau √2/2.

Jadi, nilai cos 45° adalah √2/2.

2. Jika sin A = 3/5 dan A berada pada kuadran II, hitung nilai cos A

Penyelesaian:

Dalam kuadran II, nilai cosinus selalu negatif. Oleh karena itu, nilai cos A adalah -4/5.

3. Jika cos A = 4/5 dan A berada pada kuadran I, hitung nilai tan A

Penyelesaian:

Dalam kuadran I, nilai tangen selalu positif. Oleh karena itu, nilai tan A adalah 3/4.

4. Hitung nilai cos (30° + 60°)

Penyelesaian:

Kita dapat menggunakan rumus sinus dan cosinus dari sudut tambahan.

cos (30° + 60°) = cos 30° cos 60° – sin 30° sin 60°

= (√3/2)(1/2) – (1/2)(√3/2)

= (√3 – 1)/4

Jadi, nilai cos (30° + 60°) adalah (√3 – 1)/4.

5. Hitung nilai tan (135°/2)

Penyelesaian:

Kita dapat menggunakan rumus sinus dan cosinus dari sudut setengah dari sudut tertentu.

tan (135°/2) = ± √ [(1 – cos 135°)/2] / ± √ [(1 + cos 135°)/2]

= ± √ [(1 + √2/2)/2] / ± √ [(1 – √2/2)/2]

= ± √ [1 + √2/2] / ± √ [1 – √2/2]

Untuk menentukan tanda, kita perlu memperhatikan kuadran dari sudut. Dalam hal ini, sudut 135° berada pada kuadran II, yang berarti nilai tangennya negatif. Oleh karena itu, kita memilih tanda negatif.

= -√ [1 + √2/2] / √ [1 – √2/2]

= -√ [1 + √2/2] / √2 – 1

Jadi, nilai tan (135°/2) adalah -√ [1 + √2/2] / √2 – 1.

6. Hitung nilai cot (60°/2)

Penyelesaian:

Kita dapat menggunakan rumus sinus dan cosinus dari sudut setengah dari sudut tertent