Rumus Determinan Matriks: Cara Mudah Menghitung Nilai Determinan Dengan Langkah-Langkah Tepat!

Rumus Determinan Matriks

Determinan matriks adalah suatu bilangan yang diberikan untuk setiap matriks persegi. Determinan matriks digunakan untuk menentukan apakah matriks memiliki invers atau tidak. Jika determinan matriks bernilai nol, maka matriks tersebut tidak memiliki invers dan disebut sebagai matriks singular. Rumus determinan matriks adalah salah satu cara untuk menghitung nilai determinan suatu matriks dengan menggunakan metode matematika.

Pengertian Determinan Matriks

Determinan matriks adalah bilangan yang diberikan untuk setiap matriks persegi. Bilangan ini digunakan untuk menentukan apakah matriks tersebut memiliki invers atau tidak. Jika determinan matriks sama dengan nol, maka matriks tersebut tidak memiliki invers. Determinan matriks juga dapat digunakan untuk menyelesaikan sistem persamaan linear, mencari nilai eigen dan nilai karakteristik matriks, serta menentukan apakah matriks tersebut positif definit atau tidak.

Cara Menghitung Determinan Matriks

Determinan matriks dapat dihitung dengan menggunakan beberapa metode. Salah satu metode yang paling umum digunakan adalah rumus determinan matriks. Rumus ini dapat digunakan untuk menghitung determinan matriks dengan orde apa pun. Berikut ini adalah langkah-langkah dalam menghitung determinan matriks menggunakan rumus determinan matriks.

Langkah 1: Tentukan Orde Matriks

Langkah pertama dalam menghitung determinan matriks adalah menentukan orde matriks. Orde matriks adalah jumlah baris atau kolom pada matriks tersebut. Contohnya, jika matriks memiliki 3 baris dan 3 kolom, maka orde matriks adalah 3.

Langkah 2: Tentukan Matriks Kofaktor

Setelah menentukan orde matriks, langkah selanjutnya adalah menentukan matriks kofaktor. Matriks kofaktor diperoleh dengan mengganti setiap elemen pada matriks dengan kofaktornya. Kofaktor suatu elemen adalah hasil kali antara minor dari elemen tersebut dan faktor pengali yang ditentukan berdasarkan posisi elemen pada matriks. Faktor pengali ini dapat dihitung dengan rumus (-1)^(i+j), di mana i dan j adalah posisi elemen pada matriks.

Contohnya, jika diberikan matriks A berikut ini:

A = [ 2 3 1 ] [ 4 5 6 ] [ 7 8 9 ]

Maka kofaktor elemen a11 dapat dihitung sebagai berikut:

C11 = (-1)^(1+1) * minor(1,1)
= 1 * (5*9 – 6*8)
= 3

Sedangkan kofaktor elemen a12 dapat dihitung sebagai berikut:

C12 = (-1)^(1+2) * minor(1,2)
= -1 * (4*9 – 6*7)
= 6

Demikian seterusnya untuk setiap elemen pada matriks.

Langkah 3: Hitung Determinan Matriks

Setelah menentukan matriks kofaktor, langkah selanjutnya adalah menghitung determinan matriks. Determinan matriks dapat dihitung dengan menjumlahkan hasil kali antara setiap elemen pada baris atau kolom pertama dengan kofaktornya. Setelah itu, hasil kali tersebut dikalikan dengan faktor pengali yang ditentukan berdasarkan posisi elemen pada matriks.

Contohnya, jika diberikan matriks A seperti pada langkah sebelumnya, maka determinan matriks A dapat dihitung seperti berikut:

det(A) = a11*C11 + a12*C12 + a13*C13
= 2*3 + 3*6 + 1*(-3)
= 0

Dengan demikian, determinan matriks A adalah 0.

Contoh Soal

Berikut ini adalah contoh soal untuk menghitung determinan matriks menggunakan rumus determinan matriks.

Contoh Soal 1

Hitunglah determinan matriks A berikut ini!

A = [ 1 2 3 ] [ 4 5 6 ] [ 7 8 9 ]

Penyelesaian:

Langkah 1: Tentukan orde matriks

Orde matriks adalah 3.

Langkah 2: Tentukan matriks kofaktor

Matriks kofaktor A dapat dihitung sebagai berikut:

C11 = (-1)^(1+1) * minor(1,1) = -3
C12 = (-1)^(1+2) * minor(1,2) = 6
C13 = (-1)^(1+3) * minor(1,3) = -3
C21 = (-1)^(2+1) * minor(2,1) = 6
C22 = (-1)^(2+2) * minor(2,2) = -12
C23 = (-1)^(2+3) * minor(2,3) = 6
C31 = (-1)^(3+1) * minor(3,1) = -3
C32 = (-1)^(3+2) * minor(3,2) = 6
C33 = (-1)^(3+3) * minor(3,3) = -3

Matriks kofaktor A adalah sebagai berikut:

A* = [ -3 6 -3 ] [ 6 -12 6 ] [ -3 6 -3 ]

Langkah 3: Hitung determinan matriks

Determinan matriks A dapat dihitung dengan menjumlahkan hasil kali antara setiap elemen pada baris atau kolom pertama dengan kofaktornya. Setelah itu, hasil kali tersebut dikalikan dengan faktor pengali yang ditentukan berdasarkan posisi elemen pada matriks. Dalam hal ini, kita dapat menggunakan baris pertama sebagai referensi.

det(A) = a11*C11 + a12*C12 + a13*C13
= 1*(-3) + 2*6 + 3*(-3)
= 0

Dengan demikian, determinan matriks A adalah 0.

Contoh Soal 2

Hitunglah determinan matriks B berikut ini!

B = [ 2 3 4 1 ] [ 1 4 5 6 ] [ 3 2 1 5 ] [ 4 5 3 2 ]

Penyelesaian:

Langkah 1: Tentukan orde matriks

Orde matriks adalah 4.

Langkah 2: Tentukan matriks kofaktor

Matriks kofaktor B dapat dihitung dengan menggunakan rumus kofaktor dan minor sebagai berikut:

C11 = (-1)^(1+1) * minor(1,1) = -6
C12 = (-1)^(1+2) * minor(1,2) = 22
C13 = (-1)^(1+3) * minor(1,3) = -26
C14 = (-1)^(1+4) * minor(1,4) = -4
C21 = (-1)^(2+1) * minor(2,1) = 38
C22 = (-1)^(2+2) * minor(2,2) = -23
C23 = (-1)^(2+3) * minor(2,3) = -2
C24 = (-1)^(2+4) * minor(2,4) = -5
C31 = (-1)^(3+1) * minor(3,1) = -11
C32 = (-1)^(3+2) * minor(3,2) = -14
C33 = (-1)^(3+3) * minor(3,3) = -19
C34 = (-1)^(3+4) * minor(3,4) = 18
C41 = (-1)^(4+1) * minor(4,1) = 10
C42 = (-1)^(4+2) * minor(4,2) = -20
C43 = (-1)^(4+3) * minor(4,3) = 18
C44 = (-1)^(4+4) * minor(4,4) = -15

Matriks kofaktor B adalah sebagai berikut:

B* = [ -6 22 -26 -4 ]