Rumus Aritmatika Bertingkat: Cara Mudah Mempelajari Perhitungan Matematika Berjenjang

Pengertian Rumus Aritmatika Bertingkat

Rumus aritmatika bertingkat adalah rumus matematika yang digunakan untuk menyelesaikan masalah matematika yang melibatkan beberapa jenis operasi aritmatika, seperti penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian. Rumus aritmatika bertingkat juga sering disebut rumus persamaan linier bertingkat.

Cara Mencari Nilai Tunggal Dalam Rumus Aritmatika Bertingkat

Proses mencari nilai tunggal dalam rumus aritmatika bertingkat dilakukan melalui langkah-langkah sebagai berikut:

Langkah 1: Tentukan variabel yang akan dicari nilainya. Misalkan variabel yang ingin dicari nilainya adalah x.

Langkah 2: Kelompokkan semua variabel dan konstanta yang ada pada rumus aritmatika bertingkat. Misalkan rumus aritmatika bertingkat yang akan diselesaikan adalah 2x + 3y – 4z = 7. Kelompokkan variabel dan konstanta menjadi {2x, 3y, -4z}.

Langkah 3: Susun variabel dan konstanta tersebut menjadi sebuah matriks. Kolom pertama adalah koefisien variabel pertama (x), kolom kedua adalah koefisien variabel kedua (y), dan kolom ketiga adalah koefisien variabel ketiga (z). Susun juga variabel-variabel tersebut pada kolom keempat, di bawah tanda sama dengan =.

Langkah 4: Hitung determinan matriks tersebut. Jika determinannya tidak sama dengan nol, maka sistem persamaan linier memiliki solusi tunggal. Jika determinannya sama dengan nol, maka sistem persamaan linier tidak memiliki solusi tunggal.

Langkah 5: Hitung matriks kofaktor. Matriks kofaktor adalah matriks yang diperoleh dengan mengganti setiap elemen matriks dengan kofaktornya.

Langkah 6: Transpose matriks kofaktor. Matriks hasil transpose akan digunakan untuk menghitung nilai variabel.

Langkah 7: Hitung nilai variabel. Nilai variabel dapat dihitung dengan rumus x = (a11C11 + a12C21 + a13C31) / D, y = (a21C12 + a22C22 + a23C32) / D, dan z = (a31C13 + a32C23 + a33C33) / D, dimana a11, a12, a13, a21, a22, a23, a31, a32, dan a33 adalah koefisien pada matriks awal, C11, C12, C13, C21, C22, C23, C31, C32, dan C33 adalah kofaktor pada matriks kofaktor, dan D adalah determinan pada matriks awal.

Contoh Penggunaan Rumus Aritmatika Bertingkat

Berikut adalah contoh penggunaan rumus aritmatika bertingkat:

Contoh 1: Diketahui 3x + 4y = 10 dan 2x – 5y = 7. Tentukan nilai x dan y!

Penyelesaian:

Langkah 1: Tentukan variabel yang akan dicari nilainya. Dalam kasus ini, variabel yang ingin dicari nilainya adalah x dan y.

Langkah 2: Kelompokkan variabel dan konstanta pada rumus. Rumus yang diberikan adalah 3x + 4y = 10 dan 2x – 5y = 7. Kelompokkan variabel dan konstanta menjadi {3x, 4y, 10} dan {2x, -5y, 7}.

Langkah 3: Susun variabel dan konstanta tersebut menjadi sebuah matriks. Matriks yang diperoleh adalah

begin{bmatrix}
3 & 4 \
2 & -5
end{bmatrix}

begin{bmatrix}
x \
y
end{bmatrix}

=

begin{bmatrix}
10 \
7
end{bmatrix}

Langkah 4: Hitung determinan matriks tersebut. Dalam kasus ini, determinan matriks adalah (3 x -5) – (4 x 2) = -23. Karena determinan matriks tidak sama dengan nol, maka sistem persamaan linier memiliki solusi tunggal.

Langkah 5: Hitung matriks kofaktor. Matriks kofaktor yang diperoleh adalah

begin{bmatrix}
-5 & -4 \
2 & 3
end{bmatrix}

Langkah 6: Transpose matriks kofaktor. Matriks hasil transpose yang diperoleh adalah

begin{bmatrix}
-5 & 2 \
-4 & 3
end{bmatrix}

Langkah 7: Hitung nilai variabel. Nilai variabel dapat dihitung dengan rumus x = (a11C11 + a12C21) / D dan y = (a21C12 + a22C22) / D. Dalam kasus ini, nilai x dan y adalah x = (3 x 3 + 4 x (-2)) / -23 = -2 dan y = (2 x 4 + (-5) x 3) / -23 = 1.

Jadi, nilai x adalah -2 dan nilai y adalah 1.

Contoh 2: Diketahui 2x + 3y – 4z = 7, x – 5y + 2z = -1, dan 3x – y – z = 3. Tentukan nilai x, y, dan z!

Penyelesaian:

Langkah 1: Tentukan variabel yang akan dicari nilainya. Dalam kasus ini, variabel yang ingin dicari nilainya adalah x, y, dan z.

Langkah 2: Kelompokkan variabel dan konstanta pada rumus. Rumus yang diberikan adalah 2x + 3y – 4z = 7, x – 5y + 2z = -1, dan 3x – y – z = 3. Kelompokkan variabel dan konstanta menjadi {2x, 3y, -4z, 7}, {x, -5y, 2z, -1}, dan {3x, -y, -z, 3}.

Langkah 3: Susun variabel dan konstanta tersebut menjadi sebuah matriks. Matriks yang diperoleh adalah

begin{bmatrix}
2 & 3 & -4 \
1 & -5 & 2 \
3 & -1 & -1
end{bmatrix}

begin{bmatrix}
x \
y \
z
end{bmatrix}

=

begin{bmatrix}
7 \
-1 \
3
end{bmatrix}

Langkah 4: Hitung determinan matriks tersebut. Dalam kasus ini, determinan matriks adalah -26. Karena determinan matriks tidak sama dengan nol, maka sistem persamaan linier memiliki solusi tunggal.

Langkah 5: Hitung matriks kofaktor. Matriks kofaktor yang diperoleh adalah

begin{bmatrix}
13 & -22 & 1 \
-18 & -12 & 29 \
-8 & 22 & -16
end{bmatrix}

Langkah 6: Transpose matriks kofaktor. Matriks hasil transpose yang diperoleh adalah

begin{bmatrix}
13 & -18 & -8 \
-22 & -12 & 22 \
1 & 29 & -16
end{bmatrix}

Langkah 7: Hitung nilai variabel. Nilai variabel dapat dihitung dengan rumus x = (a11C11 + a12C21 + a13C31) / D, y = (a21C12 + a22C22 + a23C32) / D, dan z = (a31C13 + a32C23 + a33C33) / D. Dalam kasus ini, nilai x, y, dan z adalah x = (2 x 13 + 3 x 18 + (-4) x 8) / (-26) = 1, y = (1 x (-22) + (-5) x (-12) + 2 x 29