Belajar Materi Barisan Dan Deret Kelas 10: Konsep, Sifat, Dan Contoh Soal

Pengertian Barisan dan Deret

Barisan dan deret merupakan bagian dari matematika yang sering dipelajari di tingkat sekolah menengah. Barisan adalah kumpulan bilangan yang disusun secara teratur dengan aturan tertentu, sedangkan deret adalah hasil penjumlahan dari sebuah barisan. Dalam pembelajaran matematika, khususnya di kelas 10, materi barisan dan deret menjadi dasar untuk memahami konsep-konsep lebih lanjut, seperti fungsi matematika.

Jenis-Jenis Barisan

Terdapat beberapa jenis barisan yang perlu dipahami oleh siswa kelas 10, di antaranya:

1. Barisan Aritmatika

Barisan aritmatika adalah barisan yang setiap suku berbeda dengan suku sebelumnya dengan selisih yang sama atau konstan. Penulisan barisan aritmatika dapat dilambangkan dengan {a, a+d, a+2d, a+3d, …} dengan d adalah selisih atau konstan.

Contoh soal: Diberikan barisan aritmatika {4, 7, 10, 13, …}. Tentukan suku ke-10!

Penyelesaian: Mencari selisih d terlebih dahulu dengan mengurangi suku kedua dengan suku pertama = 7-4 = 3. Kemudian mencari suku ke-10 dengan rumus an = a + (n-1)d. a = 4, d = 3, n = 10.
Sehingga, a10 = 4 + (10-1)3 = 31.

2. Barisan Geometri

Barisan geometri adalah barisan yang setiap suku berbeda dengan suku sebelumnya dengan rasio yang sama atau konstan. Penulisan barisan geometri dapat dilambangkan dengan {a, ar, ar², ar³, …} dengan r adalah rasio atau konstan.

Contoh soal: Diberikan barisan geometri {2, 6, 18, 54, …}. Tentukan suku ke-8!

Penyelesaian: Mencari rasio terlebih dahulu dengan membagi suku kedua dengan suku pertama = 6/2 = 3. Kemudian mencari suku ke-8 dengan rumus an = a × rⁿ⁻¹. a = 2, r = 3, n = 8.
Sehingga, a8 = 2 × 3⁷ = 4374.

3. Barisan Fibonacci

Barisan Fibonacci adalah barisan yang setiap suku adalah hasil penjumlahan dua suku sebelumnya, dimulai dari 0 dan 1 atau 1 dan 1. Penulisan barisan Fibonacci dapat dilambangkan dengan {0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, …}.

Contoh soal: Diberikan barisan Fibonacci {0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, …}. Tentukan suku ke-15!

Penyelesaian: Karena barisan Fibonacci selalu menghasilkan suku baru dengan menjumlahkan dua suku sebelumnya, maka dapat menggunakan cara manual atau metode rekursif. Namun, untuk menjawab soal ini dengan cepat, dapat menggunakan rumus Binet.
Rumus Binet: an = 1/√5 [(1+√5)/2]^n – 1/√5 [(1-√5)/2]^n.
Sehingga, a15 = 1/√5 [(1+√5)/2]^15 – 1/√5 [(1-√5)/2]^15 = 610.

Jenis-Jenis Deret

Terdapat beberapa jenis deret yang perlu dipahami oleh siswa kelas 10, di antaranya:

1. Deret Aritmatika

Deret aritmatika adalah deret yang setiap sukunya berbeda dengan sukunya sebelumnya dengan selisih yang sama atau konstan. Penulisan deret aritmatika dapat dilambangkan dengan S_n = n/2 [2a + (n-1)d] dengan n adalah jumlah suku, a adalah suku pertama, dan d adalah selisih atau konstan.

Contoh soal: Diberikan deret aritmatika 3 + 7 + 11 + 15 + … + 35. Tentukan jumlah suku ke-10!

Penyelesaian: Mencari selisih d terlebih dahulu dengan mengurangi suku kedua dengan suku pertama = 7-3 = 4. Kemudian mencari jumlah suku ke-10 dengan rumus S_n = n/2 [2a + (n-1)d]. a = 3, d = 4, n = 10.
Sehingga, S_10 = 10/2 [2(3) + (10-1)4] = 220.

2. Deret Geometri

Deret geometri adalah deret yang setiap sukunya berbeda dengan sukunya sebelumnya dengan rasio yang sama atau konstan. Penulisan deret geometri dapat dilambangkan dengan S_n = a(1-rⁿ)/(1-r) dengan n adalah jumlah suku, a adalah suku pertama, dan r adalah rasio atau konstan.

Contoh soal: Diberikan deret geometri 6 + 12 + 24 + 48 + … + 6144. Tentukan jumlah suku ke-8!

Penyelesaian: Mencari rasio terlebih dahulu dengan membagi suku kedua dengan suku pertama = 12/6 = 2. Kemudian mencari jumlah suku ke-8 dengan rumus S_n = a(1-rⁿ)/(1-r). a = 6, r = 2, n = 8.
Sehingga, S_8 = 6(1-2⁸)/(1-2) = 6(-255)/(-1) = 1530.

3. Deret Harmonik

Deret harmonik adalah deret yang setiap sukunya memiliki pola invers. Penulisan deret harmonik dapat dilambangkan dengan S_n = 1/1 + 1/2 + 1/3 + … + 1/n.

Contoh soal: Diberikan deret harmonik 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + … + 1/10. Tentukan jumlah suku ke-5!

Penyelesaian: Menggunakan rumus S_n = 1/1 + 1/2 + 1/3 + … + 1/n. n = 5.
Sehingga, S_5 = 1/1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 = 2.28.

Mencari Nilai Suku atau Jumlah Suku Barisan atau Deret

Untuk mencari nilai suku atau jumlah suku pada sebuah barisan atau deret, terdapat beberapa rumus yang dapat digunakan, di antaranya:

1. Mencari Nilai Suku ke-n Barisan Aritmatika

Rumus untuk mencari nilai suku ke-n pada barisan aritmatika adalah an = a + (n-1)d dengan a adalah suku pertama, d adalah selisih atau konstan, dan n adalah urutan suku yang dicari.

Contoh soal: Diberikan barisan aritmatika {2, 5, 8, 11, …}. Tentukan suku ke-12!

Penyelesaian: Mencari selisih d terlebih dahulu dengan mengurangi suku kedua dengan suku pertama = 5-2 = 3. Kemudian mencari suku ke-12 dengan rumus an = a + (n-1)d. a = 2, d = 3, n = 12.
Sehingga, a12 = 2 + (12-1)3 = 35.

2. Mencari Nilai Suku ke-n Barisan Geometri

Rumus untuk mencari nilai suku ke-n pada barisan geometri adalah an = a × rⁿ⁻¹ dengan a adalah suku pertama, r adalah rasio atau konstan, dan n adalah urutan suku yang dicari.

Contoh soal: Diberikan barisan geometri {3, 6, 12, 24, …}. Tentukan suku ke-8!

Penyelesaian: Mencari rasio terlebih dahulu dengan membagi suku kedua dengan suku pertama = 6/3 = 2. Kemudian mencari suku ke-8 dengan