Belajar Materi Barisan Dan Deret Aritmatika Untuk Pemula: Pengertian, Sifat, Rumus, Dan Contoh Soal

Pengenalan Barisan dan Deret Aritmatika

Barisan dan deret aritmatika adalah konsep matematika yang sering digunakan dalam kehidupan sehari-hari. Barisan adalah sekumpulan bilangan yang diatur sesuai dengan aturan tertentu, sedangkan deret adalah hasil penjumlahan dari sebuah barisan. Dalam artikel ini, kita akan membahas lebih lanjut tentang konsep barisan dan deret aritmatika.

Pengertian Barisan Aritmatika

Barisan aritmatika adalah barisan bilangan yang setiap sukuannya memiliki selisih yang sama. Selisih antara suku-suku barisan aritmatika ini disebut beda. Sebagai contoh, barisan 3, 6, 9, 12, 15, 18 merupakan barisan aritmatika dengan beda 3. Rumus umum untuk barisan aritmatika adalah :

a_n = a_1 + (n-1) * d

Dalam rumus tersebut, a_n adalah suku ke-n dari barisan, a_1 adalah suku pertama dari barisan, n adalah jumlah suku dari barisan dan d adalah beda dari barisan.

Contoh Soal :

Tentukan suku ke-7 dari barisan aritmatika berikut : 5, 10, 15, 20, …

Penyelesaian :

Kita sudah dapat melihat bahwa barisan di atas merupakan barisan aritmatika dengan beda 5. Oleh karena itu, kita dapat menggunakan rumus umum untuk menentukan suku ke-7 dari barisan tersebut.

a_n = a_1 + (n-1) * d

a_7 = 5 + (7-1) * 5

a_7 = 5 + 30

a_7 = 35

Jadi, suku ke-7 dari barisan aritmatika tersebut adalah 35.

Pengertian Deret Aritmatika

Deret aritmatika adalah hasil penjumlahan dari sebuah barisan aritmatika. Sebagai contoh, deret 3 + 6 + 9 + 12 + 15 merupakan deret aritmatika dengan beda 3. Rumus umum untuk deret aritmatika adalah :

S_n = n/2 * (a_1 + a_n)

Dalam rumus tersebut, S_n adalah jumlah n suku pertama dari barisan aritmatika, a_1 adalah suku pertama dari barisan, n adalah jumlah suku dari barisan.

Contoh Soal :

Tentukan jumlah 8 suku pertama dari barisan aritmatika berikut : 2, 5, 8, 11, …

Penyelesaian :

Kita sudah dapat melihat bahwa barisan di atas merupakan barisan aritmatika dengan beda 3. Oleh karena itu, kita dapat menggunakan rumus umum untuk menentukan jumlah 8 suku pertama dari barisan tersebut.

S_n = n/2 * (a_1 + a_n)

S_8 = 8/2 * (2 + 23)

S_8 = 4 * 25

S_8 = 100

Jadi, jumlah 8 suku pertama dari barisan aritmatika tersebut adalah 100.

Sifat-Sifat Barisan Aritmatika

Dalam barisan aritmatika, terdapat beberapa sifat-sifat yang perlu diketahui. Beberapa sifat tersebut adalah sebagai berikut :

1. Suku ke-n dari barisan aritmatika dapat ditentukan menggunakan rumus a_n = a_m + (n-m) * d, di mana a_m adalah suku ke-m dari barisan.

2. Jika suku terakhir dari barisan aritmatika adalah a_n, maka suku sebelumnya (a_n-1) adalah a_n – d.

3. Jumlah dua suku tengah dari barisan aritmatika selalu sama dengan jumlah dua suku ujungnya. Sebagai contoh, jumlah suku ke-3 dan suku ke-4 dari barisan aritmatika 2, 5, 8, 11, 14 adalah 13, yang sama dengan jumlah suku pertama dan suku terakhir dari barisan tersebut (2 + 14 = 5 + 11 = 15).

Sifat-Sifat Deret Aritmatika

Selain sifat-sifat barisan aritmatika, terdapat pula beberapa sifat-sifat deret aritmatika yang perlu diketahui. Beberapa sifat tersebut adalah sebagai berikut :

1. Jumlah n suku pertama dari deret aritmatika dengan beda d dapat ditentukan menggunakan rumus S_n = n/2 * (a_1 + a_n).

2. Jumlah deret aritmatika dengan beda d dan suku pertama a_1 adalah S dapat ditentukan menggunakan rumus S = n/2 * (a_1 + a_n), di mana n adalah jumlah suku dari barisan.

3. Deret aritmatika dengan beda d dan suku pertama a_1 dapat dipecah-pecah menjadi beberapa deret aritmatika yang lebih kecil. Sebagai contoh, deret aritmatika 2 + 5 + 8 + 11 + 14 + 17 dapat dipecah-pecah menjadi dua deret aritmatika yang lebih kecil, yaitu 2 + 8 + 14 dan 5 + 11 + 17.

Contoh Soal Campuran

Contoh soal campuran antara barisan dan deret aritmatika adalah sebagai berikut :

1. Tentukan suku ke-10 dari barisan aritmatika berikut : 7, 11, 15, …

Penyelesaian :

Kita sudah dapat melihat bahwa barisan di atas merupakan barisan aritmatika dengan beda 4. Oleh karena itu, kita dapat menggunakan rumus umum untuk menentukan suku ke-10 dari barisan tersebut.

a_n = a_1 + (n-1) * d

a_10 = 7 + (10-1) * 4

a_10 = 7 + 36

a_10 = 43

Jadi, suku ke-10 dari barisan aritmatika tersebut adalah 43.

2. Tentukan jumlah 15 suku pertama dari barisan aritmatika berikut : 3, 6, 9, …

Penyelesaian :

Kita sudah dapat melihat bahwa barisan di atas merupakan barisan aritmatika dengan beda 3. Oleh karena itu, kita dapat menggunakan rumus umum untuk menentukan jumlah 15 suku pertama dari barisan tersebut.

S_n = n/2 * (a_1 + a_n)

S_15 = 15/2 * (3 + 45)

S_15 = 7.5 * 48

S_15 = 360

Jadi, jumlah 15 suku pertama dari barisan aritmatika tersebut adalah 360.

3. Tentukan jumlah deret aritmatika 1 + 5 + 9 + 13 + 17.

Penyelesaian :

Kita sudah dapat melihat bahwa deret di atas merupakan deret aritmatika dengan beda 4 dan suku pertama 1. Oleh karena itu, kita dapat menggunakan rumus umum untuk menentukan jumlah deret tersebut.

S = n/2 * (a_1 + a_n)

S = 5/2 * (1 + 17)

S = 5/2 * 18

S = 45

Jadi, jumlah deret aritmatika tersebut adalah 45.

Kesimpulan

Dalam artikel ini, kita telah membahas tentang konsep barisan dan deret aritmatika. Barisan aritmatika adalah barisan bilangan yang setiap sukuannya memiliki selisih yang sama, sedangkan deret aritmatika adalah hasil penjumlahan dari sebuah barisan aritmatika. Kita juga telah membahas tentang rumus umum untuk barisan dan deret aritmatika, serta sifat-sifat yang perlu diketahui. Semoga artikel ini bermanfaat bagi pembaca.