Exploring The Number Of Arithmetic Sequences: Understanding The Concept Of Jumlah Deret Aritmatika

Pendahuluan

Jumlah deret aritmatika adalah topik yang sering dipelajari dalam matematika. Itu adalah topik dasar yang diajarkan di sekolah menengah dan perguruan tinggi. Pada dasarnya, deret aritmatika adalah urutan bilangan di mana setiap suku ditemukan dengan menambahkan selisih yang sama antara dua suku berturut-turut. Dalam artikel ini, kita akan membahas lebih jauh tentang jumlah deret aritmatika dan bagaimana cara menghitungnya.

Pengertian Deret Aritmatika

Deret aritmatika adalah urutan bilangan di mana setiap suku ditemukan dengan menambahkan selisih yang sama antara dua suku berturut-turut. Dalam deret aritmatika, setiap suku berturut-turut ditemukan dengan menambahkan selisih yang sama ke suku sebelumnya. Misalnya, deret bilangan 2, 4, 6, 8, 10, … adalah deret aritmatika di mana selisih antara dua suku berturut-turut adalah 2.

Rumus Deret Aritmatika

Rumus deret aritmatika adalah:

S_n = n/2 [2a + (n-1) d]

di mana S_n adalah jumlah n suku pertama dari deret aritmatika, a adalah suku pertama, d adalah selisih antara dua suku berturut-turut, dan n adalah banyaknya suku dalam deret tersebut.

Contoh Soal Deret Aritmatika

Berikut ini adalah contoh soal tentang deret aritmatika:

Contoh 1: Tentukan jumlah 10 suku pertama dari deret aritmatika dengan suku pertama 3 dan selisih antara dua suku berturut-turut adalah 4.

Penyelesaian: Kita dapat menggunakan rumus deret aritmatika untuk menyelesaikan masalah ini. Pertama, kita tentukan nilai a, d, dan n. Dalam kasus ini, nilai a adalah 3, nilai d adalah 4, dan nilai n adalah 10. Kemudian, kita gunakan rumus deret aritmatika untuk menghitung jumlah 10 suku pertama:

S_n = n/2 [2a + (n-1) d] S_10 = 10/2 [2(3) + (10-1) 4] S_10 = 5 [6 + 36] S_10 = 210

Jadi, jumlah 10 suku pertama dari deret aritmatika dengan suku pertama 3 dan selisih antara dua suku berturut-turut adalah 4 adalah 210.

Contoh 2: Tentukan jumlah semua bilangan bulat positif kurang dari 100 yang merupakan kelipatan 3.

Penyelesaian: Kita perlu mencari deret aritmatika yang mengandung bilangan-bilangan bulat positif kurang dari 100 yang merupakan kelipatan 3. Dalam hal ini, suku pertama adalah 3, selisih antara dua suku berturut-turut adalah 3, dan suku terakhir adalah 99. Kita dapat menggunakan rumus deret aritmatika untuk menghitung jumlah deret ini:

S_n = n/2 [2a + (n-1) d] S_n = n/2 [2(3) + (n-1) 3] S_n = n/2 [6 + 3(n-1)] S_n = n/2 [3n + 3] S_n = 3n^2/2 + 3n/2

Kita perlu menemukan nilai n sehingga suku terakhir kurang dari atau sama dengan 99. Kita dapat menggunakan rumus suku ke-n dalam deret aritmatika untuk menentukan nilai n:

a_n = a + (n-1) d
99 = 3 + (n-1) 3
96 = 3n
n = 32

Jadi, kita perlu menemukan jumlah 31 suku pertama dari deret aritmatika ini. Oleh karena itu, jumlah semua bilangan bulat positif kurang dari 100 yang merupakan kelipatan 3 adalah:

S_31 = 3(31)^2/2 + 3(31)/2
S_31 = 1485

Contoh 3: Jika jumlah tiga suku pertama dari deret aritmatika adalah 12 dan jumlah tujuh suku pertama adalah 70, tentukan suku pertama dan selisih antara dua suku berturut-turut.

Penyelesaian: Kita dapat menggunakan sistem persamaan untuk menyelesaikan masalah ini. Pertama, kita gunakan rumus jumlah tiga suku pertama dan jumlah tujuh suku pertama untuk membentuk sistem persamaan:

S_3 = 3/2 [2a + 2d] 12 = 3a + 3d

S_7 = 7/2 [2a + 6d] 70 = 7a + 21d

Kita dapat menyelesaikan sistem persamaan ini dengan cara mengeliminasi salah satu variabel. Dalam hal ini, kita dapat menghilangkan variabel a dengan mengalikan persamaan pertama dengan 7 dan persamaan kedua dengan 3, dan kemudian mengurangi persamaan kedua dari persamaan pertama:

21a + 21d = 84
21a + 63d = 210
-42d = -126
d = 3

Setelah mengetahui nilai d, kita dapat menggunakan persamaan pertama untuk menentukan nilai a:

12 = 3a + 3(3)
a = 1

Jadi, suku pertama adalah 1 dan selisih antara dua suku berturut-turut adalah 3.

Kesimpulan

Jumlah deret aritmatika adalah topik yang penting dalam matematika. Dalam artikel ini, kita telah membahas pengertian deret aritmatika, rumus deret aritmatika, dan tiga contoh soal tentang deret aritmatika. Untuk menyelesaikan masalah tentang deret aritmatika, penting untuk memahami konsep tentang deret aritmatika dan rumus-rumus yang terkait dengan topik ini. Semoga artikel ini membantu pembaca untuk memahami topik ini dengan lebih baik.