Cara Mencari Adjoin Matriks 3×3 Dengan Mudah Dan Tepat

Cara Mencari Adjoin Matriks 3×3

Matriks adjoin adalah salah satu konsep matematika yang sering ditemukan dalam berbagai macam aplikasi seperti dalam bidang fisika, statistika, dan rekayasa. Matriks adjoin sering digunakan dalam membentuk persamaan dan pemrosesan data. Dalam artikel ini, kita akan membahas cara untuk mencari adjoin matriks 3×3.

Persiapan

Sebelum masuk ke dalam cara untuk mencari adjoin matriks 3×3, ada beberapa hal yang perlu dipersiapkan terlebih dahulu.

1. Definisi matriks 3×3

Matriks 3×3 adalah matriks yang terdiri dari 3 baris dan 3 kolom. Dalam hal ini, kita akan menggunakan matriks A sebagai contoh, yang dapat ditulis sebagai berikut:

“`
A = [a11, a12, a13] [a21, a22, a23] [a31, a32, a33] “`

2. Matriks kofaktor

Matriks kofaktor adalah matriks yang merupakan hasil dari menghapus baris dan kolom tertentu dari matriks asli. Setiap elemen pada matriks kofaktor diberi tanda positif atau negatif berdasarkan aturan kofaktor. Aturan kofaktor adalah sebagai berikut:

– Jika jumlah baris dan kolom elemen tersebut ganjil, maka nilainya positif.
– Jika jumlah baris dan kolom elemen tersebut genap, maka nilainya negatif.

Berikut adalah contoh matriks kofaktor berdasarkan aturan kofaktor:

“`
A = [a11, a12, a13] [a21, a22, a23] [a31, a32, a33]

Matriks kofaktor dari A adalah:
C = [C11, C12, C13] [C21, C22, C23] [C31, C32, C33]

dengan nilai Cij sebagai berikut:

C11 = (-1)^(1+1) * (a22*a33 – a23*a32)
C12 = (-1)^(1+2) * (a21*a33 – a23*a31)
C13 = (-1)^(1+3) * (a21*a32 – a22*a31)
C21 = (-1)^(2+1) * (a12*a33 – a13*a32)
C22 = (-1)^(2+2) * (a11*a33 – a13*a31)
C23 = (-1)^(2+3) * (a11*a32 – a12*a31)
C31 = (-1)^(3+1) * (a12*a23 – a13*a22)
C32 = (-1)^(3+2) * (a11*a23 – a13*a21)
C33 = (-1)^(3+3) * (a11*a22 – a12*a21)
“`

3. Matriks transpose

Matriks transpose adalah matriks yang diperoleh dari menukar baris dengan kolom pada matriks asli. Transpose dari matriks A dapat ditulis sebagai berikut:

“`
A^T = [a11, a21, a31] [a12, a22, a32] [a13, a23, a33] “`

Langkah-langkah

Setelah mempersiapkan hal-hal yang diperlukan, berikut adalah langkah-langkah untuk mencari adjoin matriks 3×3.

1. Hitung matriks kofaktor

Hitung matriks kofaktor dari matriks A menggunakan aturan kofaktor yang telah dijelaskan sebelumnya. Matriks kofaktor dari A dapat ditulis sebagai berikut:

“`
C = [C11, C12, C13] [C21, C22, C23] [C31, C32, C33] “`

2. Ubah tanda pada matriks kofaktor

Ubah tanda dari setiap elemen pada matriks kofaktor dengan cara mengalikan setiap elemen dengan -1^(i+j), dimana i adalah nomor baris dan j adalah nomor kolom dari elemen tersebut. Dalam hal ini, kita akan mengalikan setiap elemen dengan -1^(i+j+1). Matriks kofaktor dengan tanda yang sudah diubah dapat ditulis sebagai berikut:

“`
C’ = [C11, -C12, C13] [-C21, C22, -C23] [C31, -C32, C33] “`

3. Matriks adjoin

Matriks adjoin adalah transpose dari matriks kofaktor dengan tanda yang sudah diubah. Matriks adjoin dari matriks A dapat ditulis sebagai berikut:

“`
adj(A) = [C11, -C21, C31] [-C12, C22, -C32] [C13, -C23, C33] “`

Contoh Soal

Berikut adalah contoh soal untuk mencari adjoin matriks 3×3:

“`
A = [2, 1, 3] [0, 1, 2] [1, 1, 1] “`

1. Hitung matriks kofaktor

Berikut adalah rumus untuk mencari matriks kofaktor dari suatu matriks:

Cij = (-1)^(i+j) * Mij

dimana Mij adalah determinan dari matriks yang dihasilkan dari menghapus baris i dan kolom j dari matriks asli. Kita dapat menggunakan rumus ini untuk menghitung matriks kofaktor dari matriks A:

“`
C = [C11, C12, C13] [C21, C22, C23] [C31, C32, C33]

C11 = (-1)^(1+1) * det([1, 2; 1, 1]) = -1
C12 = (-1)^(1+2) * det([0, 2; 1, 1]) = 2
C13 = (-1)^(1+3) * det([0, 1; 1, 2]) = -1
C21 = (-1)^(2+1) * det([1, 3; 1, 1]) = -2
C22 = (-1)^(2+2) * det([2, 3; 1, 1]) = -1
C23 = (-1)^(2+3) * det([2, 1; 1, 1]) = 1
C31 = (-1)^(3+1) * det([1, 3; 1, 2]) = 1
C32 = (-1)^(3+2) * det([2, 3; 1, 2]) = -1
C33 = (-1)^(3+3) * det([2, 1; 1, 1]) = -1

C = [-1, 2, -1] [-2, -1, 1] [1, -1, -1] “`

2. Ubah tanda pada matriks kofaktor

Kita harus mengubah tanda dari setiap elemen pada matriks kofaktor dengan cara mengalikan setiap elemen dengan -1^(i+j+1). Matriks kofaktor dengan tanda yang sudah diubah dapat ditulis sebagai berikut:

“`
C’ = [-1, -2, 1] [-2, 1, -1] [-1, 1, -1] “`

3. Matriks adjoin

Matriks adjoin adalah transpose dari matriks kofaktor dengan tanda yang sudah diubah. Matriks adjoin dari matriks A dapat ditulis sebagai berikut:

“`
adj(A) = [C11, -C21, C31] [-C12, C22, -C32] [C13, -C23, C33]

adj(A) = [-1, 2, -1] [2, -1, 1] [-1, 1, -1] “`

Maka, adjoin dari matriks A adalah:

“`
adj(A) = [-1, 2, -1] [2, -1, 1] [-1, 1, -1] “`

Kesimpulan

Matriks adjoin digunakan untuk berbagai aplikasi matematika, seperti dalam membent