Akar Persamaan Kuadrat

Persamaan kuadrat adalah persamaan yang berbentuk $ax^2+bx+c=0$, di mana $a$, $b$, dan $c$ adalah bilangan real dan $a neq 0$. Persamaan kuadrat memiliki dua akar, yang dikenal sebagai akar-akar persamaan kuadrat. Akar-akar persamaan kuadrat dapat ditemukan menggunakan formula kuadratik atau melalui metode faktorisasi.

Formula Kuadratik

Formula kuadratik adalah rumus yang digunakan untuk menentukan akar-akar persamaan kuadrat. Formula ini dinyatakan sebagai berikut:
$$x=frac{-bpmsqrt{b^2-4ac}}{2a}$$

Persamaan Kuadrat dalam Bentuk Standar

Sebelum menggunakan formula kuadratik, persamaan kuadrat harus dinyatakan dalam bentuk standar, yaitu $ax^2+bx+c=0$. Jika persamaan kuadrat tidak berada dalam bentuk standar, maka harus diubah terlebih dahulu. Contohnya, jika persamaan kuadrat dinyatakan sebagai $2(x+1)^2-9=0$, maka persamaan ini harus diubah menjadi bentuk standar:

begin{align*}
2(x+1)^2-9 &= 0 \
2(x^2+2x+1)-9 &= 0 \
2x^2+4x-7 &= 0 \
end{align*}

Sekarang persamaan kuadrat berada dalam bentuk standar, $ax^2+bx+c=0$, dengan $a=2$, $b=4$, dan $c=-7$.

Menggunakan Formula Kuadratik

Setelah persamaan kuadrat dinyatakan dalam bentuk standar, dapat diterapkan formula kuadratik untuk menentukan akar-akar persamaan kuadrat. Langkah-langkah yang harus diikuti adalah sebagai berikut:

Identifikasi nilai $a$, $b$, dan $c$ dalam persamaan kuadrat.
Gunakan rumus: $$x=frac{-bpmsqrt{b^2-4ac}}{2a}$$
Substitusikan nilai $a$, $b$, dan $c$ ke dalam rumus tersebut.
Hitung nilai persamaan di dalam akar dan cari akar-akarnya.

Contoh:
Tentukan akar-akar persamaan kuadrat $x^2+6x+5=0$.

Jawab:
1. Nilai $a$, $b$, dan $c$ dari persamaan kuadrat adalah $a=1$, $b=6$, dan $c=5$.

2. Gunakan rumus: $$x=frac{-bpmsqrt{b^2-4ac}}{2a}$$

3. Substitusikan nilai $a$, $b$, dan $c$:
$$x=frac{-6pmsqrt{6^2-4(1)(5)}}{2(1)}$$

4. Hitung nilai persamaan di dalam akar dan cari akar-akarnya:
$$x=frac{-6pmsqrt{16}}{2}$$
$$x=-3pm2$$

Sehingga, akar-akar persamaan kuadrat $x^2+6x+5=0$ adalah $x=-1$ dan $x=-5$.

Metode Faktorisasi

Metode faktorisasi adalah salah satu metode lain untuk menentukan akar-akar persamaan kuadrat. Metode ini memanfaatkan sifat-sifat perkalian dan penjumlahan untuk memfaktorkan persamaan kuadrat menjadi bentuk $(x+a)(x+b)=0$, di mana $a$ dan $b$ adalah bilangan real.

Faktorisasi dengan Memfaktorkan Koefisien $a$

Langkah-langkah untuk memfaktorkan persamaan kuadrat dengan koefisien $a$ adalah sebagai berikut:

Identifikasi nilai $a$, $b$, dan $c$ dalam persamaan kuadrat.
Cari dua bilangan real $m$ dan $n$ sehingga $m+n=b$ dan $mn=ac$.
Tulis persamaan kuadrat dalam bentuk faktor, yaitu $(x+m)(x+n)=0$.
Selesaikan persamaan $(x+m)(x+n)=0$ untuk menentukan akar-akar persamaan kuadrat.

Contoh:
Tentukan akar-akar persamaan kuadrat $x^2+6x+5=0$ menggunakan metode faktorisasi.

Jawab:
1. Nilai $a$, $b$, dan $c$ dari persamaan kuadrat adalah $a=1$, $b=6$, dan $c=5$.

2. Cari dua bilangan real $m$ dan $n$ sehingga $m+n=b$ dan $mn=ac$.
$m+n=6$ dan $mn=1times5=5$.
Dua bilangan real yang memenuhi syarat tersebut adalah $m=1$ dan $n=5$.

3. Tulis persamaan kuadrat dalam bentuk faktor, yaitu $(x+m)(x+n)=0$.
$x^2+6x+5=(x+1)(x+5)$.

4. Selesaikan persamaan $(x+1)(x+5)=0$ untuk menentukan akar-akar persamaan kuadrat.
$x+1=0$ atau $x+5=0$.
Sehingga, akar-akar persamaan kuadrat $x^2+6x+5=0$ adalah $x=-1$ dan $x=-5$.

Faktorisasi dengan Menggunakan Metode Kelipatan

Langkah-langkah untuk memfaktorkan persamaan kuadrat dengan menggunakan metode kelipatan adalah sebagai berikut:

Identifikasi nilai $a$, $b$, dan $c$ dalam persamaan kuadrat.
Cari dua bilangan bulat $m$ dan $n$ sehingga $m+n=b$ dan $mn=ac$.
Gunakan nilai $m$ dan $n$ untuk menulis persamaan kuadrat dalam bentuk faktor kelipatan, yaitu $ax^2+bx+c=a(x+m)(x+n)$.
Selesaikan persamaan $a(x+m)(x+n)=0$ untuk menentukan akar-akar persamaan kuadrat.

Contoh:
Tentukan akar-akar persamaan kuadrat $2x^2+5x+3=0$ menggunakan metode faktorisasi.

Jawab:
1. Nilai $a$, $b$, dan $c$ dari persamaan kuadrat adalah $a=2$, $b=5$, dan $c=3$.

2. Cari dua bilangan bulat $m$ dan $n$ sehingga $m+n=b$ dan $mn=ac$.
$m+n=5$ dan $mn=2times3=6$.
Dua bilangan bulat yang memenuhi syarat tersebut adalah $m=2$ dan $n=3$.

3. Gunakan nilai $m$ dan $n$ untuk menulis persamaan kuadrat dalam bentuk faktor kelipatan, yaitu $ax^2+bx+c=a(x+m)(x+n)$.
$2x^2+5x+3=2(x+2)(x+3)$.

4. Selesaikan persamaan $2(x+2)(x+3)=0$ untuk menentukan akar-akar persamaan kuadrat.
$x+2=0$ atau $x+3=0$.
Sehingga, akar-akar persamaan kuadrat $2x^2+5x+3=0$ adalah $x=-frac{3}{2}$ dan $x=-1$.

Kesimpulan

Persamaan kuadrat adalah persamaan yang berbentuk $ax^2+bx+c=0$, di mana $a$, $b$, dan $c$ adalah bilangan real dan $a neq 0$. Persamaan kuadrat memiliki dua akar, yang dikenal sebagai akar-akar persamaan kuadrat. Akar-akar persamaan kuadrat dapat ditemukan menggunakan formula kuadratik atau melalui metode faktorisasi. Formula kuadratik