Cara Menghitung Invers Matriks 4×4

Matriks adalah salah satu konsep penting dalam matematika. Matriks dapat digunakan untuk merepresentasikan data dalam bentuk tabel. Selain itu, matriks juga dapat digunakan untuk menyelesaikan berbagai permasalahan matematika. Salah satu konsep matriks yang penting adalah invers matriks. Invers matriks adalah kebalikan dari suatu matriks. Artikel ini akan membahas tentang cara menghitung invers matriks 4×4.

Definisi Invers Matriks

Invers matriks didefinisikan sebagai suatu matriks yang jika dikalikan dengan matriks asalnya akan menghasilkan matriks identitas. Matriks identitas adalah matriks yang memiliki elemen diagonal utama bernilai 1 dan elemen lainnya bernilai 0.

Contohnya, jika A adalah matriks dan A^-1 adalah invers dari A, maka:
A x A^-1 = A^-1 x A = I

I adalah matriks identitas.

Cara Menghitung Invers Matriks 4×4

Berikut adalah langkah-langkah untuk menghitung invers matriks 4×4:

Hitung determinan matriks
Hitung matriks kofaktor
Hitung matriks adjoin
Bagi matriks adjoin dengan determinan

1. Hitung Determinan Matriks

Langkah pertama dalam menghitung invers matriks 4×4 adalah dengan menghitung determinan matriks. Untuk menghitung determinan matriks 4×4, kita dapat menggunakan metode ekspansi kofaktor. Berikut adalah rumus untuk menghitung determinan matriks 4×4:

det(A) = a11A11 + a12A12 + a13A13 + a14A14 – a11A22A33A44 – a11A23A34A42 – a11A24A32A43 – a12A21A33A44 – a12A23A34A41 – a12A24A31A43 – a13A21A32A44 – a13A22A34A41 – a13A24A31A42 – a14A21A32A43 – a14A22A33A41 – a14A23A31A42

Dimana a11, a12, a13, a14, a21, a22, a23, a24, a31, a32, a33, a34, a41, a42, a43, a44 adalah elemen-elemen matriks 4×4.

2. Hitung Matriks Kofaktor

Langkah selanjutnya adalah menghitung matriks kofaktor. Matriks kofaktor adalah matriks yang setiap elemennya dikalikan dengan determinan dari submatriks 3×3 yang terdiri dari elemen-elemen yang tidak berada pada baris dan kolom yang sama dengan elemen tersebut. Berikut adalah rumus untuk menghitung matriks kofaktor:

C11 = A22A33A44 + A23A34A42 + A24A32A43 – A22A34A43 – A23A32A44 – A24A33A42

C12 = A12A33A44 + A13A34A42 + A14A32A43 – A12A34A43 – A13A32A44 – A14A33A42

C13 = A12A23A44 + A13A24A42 + A14A22A43 – A12A24A43 – A13A22A44 – A14A23A42

C14 = A12A23A34 + A13A24A32 + A14A22A33 – A12A24A33 – A13A22A34 – A14A23A32

C21 = A21A33A44 + A23A34A41 + A24A31A43 – A21A34A43 – A23A31A44 – A24A33A41

C22 = A11A33A44 + A13A34A41 + A14A31A43 – A11A34A43 – A13A31A44 – A14A33A41

C23 = A11A23A44 + A13A24A41 + A14A21A43 – A11A24A43 – A13A21A44 – A14A23A41

C24 = A11A23A34 + A13A24A31 + A14A21A33 – A11A24A33 – A13A21A34 – A14A23A31

C31 = A21A32A44 + A22A34A41 + A24A31A42 – A21A34A42 – A22A31A44 – A24A32A41

C32 = A11A32A44 + A12A34A41 + A14A31A42 – A11A34A42 – A12A31A44 – A14A32A41

C33 = A11A22A44 + A12A24A41 + A14A21A42 – A11A24A42 – A12A21A44 – A14A22A41

C34 = A11A22A34 + A12A24A31 + A14A21A32 – A11A24A32 – A12A21A34 – A14A22A31

C41 = A21A32A43 + A22A33A41 + A23A31A42 – A21A33A42 – A22A31A43 – A23A32A41

C42 = A11A32A43 + A12A33A41 + A13A31A42 – A11A33A42 – A12A31A43 – A13A32A41

C43 = A11A22A43 + A12A23A41 + A13A21A42 – A11A23A42 – A12A21A43 – A13A22A41

C44 = A11A22A33 + A12A23A31 + A13A21A32 – A11A23A32 – A12A21A33 – A13A22A31

3. Hitung Matriks Adjoin

Setelah matriks kofaktor telah ditemukan, langkah selanjutnya adalah menghitung matriks adjoin. Matriks adjoin adalah matriks transpose dari matriks kofaktor. Berikut adalah rumus untuk menghitung matriks adjoin:

adj(A) = |C11 C21 C31 C41|

|C12 C22 C32 C42|

|C13 C23 C33 C43|

|C14 C24 C34 C44|

4. Bagi Matriks Adjoin dengan Determinan

Langkah terakhir adalah membagi matriks adjoin dengan determinan matriks. Berikut adalah rumus untuk menghitung invers matriks 4×4:

A^-1 = adj(A) / det(A)

Contoh Soal

Berikut adalah contoh perhitungan invers matriks 4×4:

A = | 2 3 5 7 |

| 1 4 6 8 |

| 2 3 9 4 |

| 2 1 7 3 |

Langkah 1: Hitung determinan matriks

det(A) = 2(4(9(3)-7(7))-6(3(3)-7(2))+8(3(7)-9(2))-3(4(7)-9(6))) – 3(1(9(3)-7(4))-6(2(3)-4(7))+8(2(7)-9(1))-4(1(7)-9(6))) + 5(1(3(4)-4(9))-2(3(2)-4(5))+8(2