Cara Menghitung Adjoin Matriks 3×3

Matriks adalah salah satu konsep dalam matematika yang memainkan peran penting dalam banyak aplikasi. Matriks 3×3 adalah matriks dengan tiga baris dan tiga kolom. Salah satu operasi yang sering diterapkan pada matriks adalah menghitung adjoin. Adjoin adalah matriks yang dihasilkan dari membalik posisi elemen diagonal utama dengan elemen diagonal sekunder pada matriks asli. Berikut ini adalah cara menghitung adjoin matriks 3×3.

Langkah-langkah Menghitung Adjoin Matriks 3×3

Sebelum menghitung adjoin matriks 3×3, perlu dipahami bahwa adjoin hanya dapat dihitung pada matriks dengan determinan tidak sama dengan nol. Jika determinan matriks 3×3 adalah nol, maka adjoin tidak dapat dihitung.

Langkah-langkah untuk menghitung adjoin matriks 3×3 adalah sebagai berikut:

Buat matriks kofaktor dari matriks asli.
Transpose matriks kofaktor.
Hasil dari transpos matriks kofaktor adalah adjoin matriks 3×3.

Berikut ini adalah penjelasan lebih detail mengenai langkah-langkah tersebut.

1. Membuat Matriks Kofaktor

Untuk membuat matriks kofaktor dari matriks 3×3, perlu dihitung nilai kofaktor dari setiap elemen pada matriks asli. Nilai kofaktor adalah hasil perkalian antara minor elemen tersebut dan faktor pengali yang ditentukan oleh pola kofaktor. Pola kofaktor adalah sebuah matriks 3×3 yang menentukan faktor pengali untuk setiap elemen pada matriks asli.

Berikut ini adalah pola kofaktor untuk matriks 3×3.

+
–
+

–
+
–

+
–
+

Untuk menghitung nilai kofaktor, pertama-tama perlu dihitung nilai minor dari setiap elemen pada matriks asli. Nilai minor adalah determinan dari matriks 2×2 yang dihasilkan dari menghapus baris dan kolom yang mengandung elemen tersebut.

Berikut ini adalah contoh perhitungan nilai minor untuk elemen matriks asli a2,1.

a1,1
a1,2
a1,3

a2,1
a2,2
a2,3

a3,1
a3,2
a3,3

Minor dari elemen a2,1 adalah determinan dari matriks 2×2 berikut.

a1,2
a1,3

a3,2
a3,3

Determinan dari matriks 2×2 tersebut dapat dihitung sebagai berikut.

|a1,2 a1,3|

|a3,2 a3,3| = a1,2a3,3 – a1,3a3,2

Selanjutnya, nilai kofaktor dari elemen a2,1 dapat dihitung sebagai perkalian antara minor tersebut dengan faktor pengali yang ditentukan oleh pola kofaktor.

k2,1 = (-1)2+1 (a1,2a3,3 – a1,3a3,2) = -1(a1,2a3,3 – a1,3a3,2)

Langkah yang sama diulang untuk setiap elemen pada matriks asli. Hasil akhir dari langkah ini adalah matriks kofaktor.

Contoh:

Berikut ini adalah matriks 3×3 yang akan dihitung adjoin-nya.

2
3
1

5
4
2

1
0
3

Langkah pertama adalah menghitung nilai kofaktor dari setiap elemen pada matriks asli.

k1,1 = (-1)1+1 (a2,2a3,3 – a2,3a3,2) = (-1)(4×3 – 2×0) = -12

k1,2 = (-1)1+2 (a2,1a3,3 – a2,3a3,1) = (-1)(5×3 – 2×1) = 13

k1,3 = (-1)1+3 (a2,1a3,2 – a2,2a3,1) = (-1)(5×0 – 4×1) = 4

k2,1 = (-1)2+1 (a1,2a3,3 – a1,3a3,2) = (-1)(3×3 – 1×0) = -9

k2,2 = (-1)2+2 (a1,1a3,3 – a1,3a3,1) = (-1)(2×3 – 1×1) = 5

k2,3 = (-1)2+3 (a1,1a3,2 – a1,2a3,1) = (-1)(2×0 – 3×1) = 3

k3,1 = (-1)3+1 (a1,2a2,3 – a1,3a2,2) = (-1)(3×2 – 1×4) = 2

k3,2 = (-1)3