Soal Barisan Geometri

Barisan geometri adalah deret angka yang setiap suku selanjutnya merupakan hasil kali antara suku sebelumnya dengan suatu bilangan tetap yang disebut rasio. Barisan geometri biasanya ditandai dengan huruf a sebagai suku pertama dan r sebagai rasio. Soal barisan geometri melibatkan penentuan suku ke-n atau suku ke-n tertentu berdasarkan informasi yang diberikan mengenai a, r, dan n. Berikut ini adalah beberapa contoh soal barisan geometri beserta penyelesaiannya.

Contoh Soal 1: Penentuan Suku Ke-n

Diketahui barisan geometri dengan suku pertama a = 3 dan rasio r = 2. Tentukan suku ke-5 dari barisan tersebut.

Penyelesaian

Untuk menentukan suku ke-n dari barisan geometri, kita dapat menggunakan rumus:

an = a * r^(n-1)

Dalam hal ini, n adalah indeks suku yang ingin kita cari, a adalah suku pertama, dan r adalah rasio. Setelah mengganti nilai-nilai tersebut ke dalam rumus, kita dapatkan:

a5 = 3 * 2^(5-1) = 3 * 2^4 = 3 * 16 = 48

Jadi, suku ke-5 dari barisan geometri dengan suku pertama a = 3 dan rasio r = 2 adalah 48.

Contoh Soal 2: Penentuan Rasio

Diketahui barisan geometri dengan suku pertama a = 5 dan suku ke-4 a4 = 80. Tentukan rasio dari barisan tersebut.

Penyelesaian

Untuk menentukan rasio dari barisan geometri, kita dapat menggunakan rumus:

r = ak / ak-1

Dalam hal ini, ak adalah suku ke-n dan ak-1 adalah suku sebelumnya. Jadi, untuk mencari rasio, kita dapat menggunakan suku ke-4 dan suku ke-3, karena suku ke-4 merupakan suku ke-3 yang dikalikan dengan rasio. Setelah mengganti nilai-nilai tersebut ke dalam rumus, kita dapatkan:

r = a4 / a3 = 80 / 40 = 2

Jadi, rasio dari barisan geometri dengan suku pertama a = 5 dan suku ke-4 a4 = 80 adalah 2.

Contoh Soal 3: Penentuan Suku Pertama

Diketahui barisan geometri dengan suku ke-3 a3 = 24 dan rasio r = 3. Tentukan suku pertama dari barisan tersebut.

Penyelesaian

Untuk menentukan suku pertama dari barisan geometri, kita dapat menggunakan rumus:

a = ak / r^(n-1)

Dalam hal ini, ak adalah suku ke-n yang diketahui, r adalah rasio, dan n adalah indeks suku yang ingin kita tentukan (dalam hal ini n = 3). Setelah mengganti nilai-nilai tersebut ke dalam rumus, kita dapatkan:

a = a3 / r^(n-1) = 24 / 3^(3-1) = 24 / 9 = 2.67

Jadi, suku pertama dari barisan geometri dengan suku ke-3 a3 = 24 dan rasio r = 3 adalah 2.67.

Contoh Soal 4: Penentuan Jumlah Suku

Diketahui barisan geometri dengan suku pertama a = 2 dan rasio r = 5. Tentukan jumlah suku dari barisan tersebut jika jumlah semua suku sebanyak 31.

Penyelesaian

Untuk menentukan jumlah suku dari barisan geometri, kita dapat menggunakan rumus:

Sn = a * (r^n – 1) / (r – 1)

Dalam hal ini, Sn merupakan jumlah suku, a adalah suku pertama, r adalah rasio, dan n adalah jumlah suku yang ingin kita tentukan. Kita dapat mencari n dengan mencari solusi dari persamaan:

Sn = 31

Jadi, setelah mengganti nilai-nilai tersebut ke dalam rumus dan mencari n, kita dapatkan:

31 = 2 * (5^n – 1) / (5 – 1)

31 = (5^n – 1) / 2

62 = 5^n – 1

63 = 5^n

n = log5(63) = 3.68

Karena jumlah suku haruslah sebuah bilangan bulat, maka jumlah suku yang tepat adalah 4.

Jadi, jumlah suku dari barisan geometri dengan suku pertama a = 2 dan rasio r = 5 jika jumlah semua suku sebanyak 31 adalah 4.

Contoh Soal 5: Penentuan Suku Tertentu

Diketahui barisan geometri dengan suku pertama a = 4 dan rasio r = 3. Tentukan suku ke-7 dari barisan tersebut.

Penyelesaian

Untuk menentukan suku tertentu dari barisan geometri, kita dapat menggunakan rumus yang sama dengan rumus untuk menentukan suku ke-n:

an = a * r^(n-1)

Dalam hal ini, n adalah indeks suku yang ingin kita cari (dalam hal ini n = 7), a adalah suku pertama, dan r adalah rasio. Setelah mengganti nilai-nilai tersebut ke dalam rumus, kita dapatkan:

a7 = 4 * 3^(7-1) = 4 * 3^6 = 4 * 729 = 2916

Jadi, suku ke-7 dari barisan geometri dengan suku pertama a = 4 dan rasio r = 3 adalah 2916.

Kesimpulan

Soal barisan geometri melibatkan penentuan suku ke-n atau suku ke-n tertentu dari sebuah barisan geometri berdasarkan informasi yang diberikan mengenai suku pertama, rasio, dan jumlah suku. Untuk menyelesaikan soal-soal barisan geometri, kita dapat menggunakan rumus-rumus yang ada seperti rumus untuk menentukan suku ke-n, rasio, suku pertama, jumlah suku, dan suku tertentu. Pemahaman mengenai barisan geometri sangatlah penting dalam matematika karena banyak aplikasinya di berbagai bidang ilmu.