Bicara Fakta Informasi Berita Terkini, Berita Terbaru dan Berita Hari Ini
Daftar Isi
Rumus Vektor Matematika: Pengantar
Vektor merupakan salah satu konsep matematika dasar yang sering dijumpai dalam berbagai ilmu pengetahuan, termasuk matematika, fisika, dan teknik. Vektor adalah suatu besaran yang memiliki arah dan besarnya. Dalam matematika, vektor sering digunakan untuk mempelajari pergerakan dan gaya pada benda. Oleh karena itu, rumus vektor matematika sangat penting untuk dipahami.
Definisi Vektor
Sebelum mempelajari rumus vektor matematika, penting untuk memahami definisi dari vektor itu sendiri. Vektor dapat didefinisikan sebagai besaran yang memiliki arah dan besarnya. Dalam notasi matematika, vektor sering ditulis dengan huruf kecil yang dicetak tebal, seperti v.
Sebagai contoh, vektor posisi suatu benda dapat dituliskan sebagai v = (x,y,z), dimana x, y, dan z adalah besaran yang menyatakan posisi benda dalam tiga dimensi. Vektor posisi ini memiliki arah yang mengarah ke posisi benda tersebut, dan besarnya menyatakan jarak benda dari titik asal (biasanya titik koordinat 0,0,0).
Operasi Vektor
Selain memiliki arah dan besarnya, vektor juga dapat dilakukan operasi matematika seperti penjumlahan dan perkalian. Operasi-operasi ini sangat penting dalam mempelajari rumus vektor matematika.
Penjumlahan Vektor
Penjumlahan vektor dilakukan dengan cara menjumlahkan komponen-komponen vektor yang searah. Sebagai contoh, jika terdapat vektor a = (2,3) dan vektor b = (4,5), maka hasil penjumlahan vektor a dan b adalah:
a + b = (2+4, 3+5) = (6, 8)
Hasil penjumlahan vektor tersebut dapat diinterpretasikan sebagai vektor yang mengarah dari titik asal ke titik (6,8).
Perkalian Skalar Vektor
Perkalian skalar vektor dilakukan dengan cara mengalikan besarnya vektor dengan suatu bilangan (skalar). Sebagai contoh, jika terdapat vektor a = (2,3) dan skalar k = 3, maka hasil perkalian skalar antara a dan k adalah:
k * a = (3*2, 3*3) = (6, 9)
Hasil perkalian skalar tersebut dapat diinterpretasikan sebagai vektor yang memiliki arah yang sama dengan vektor a, namun besarnya adalah 3 kali besarnya vektor a.
Rumus Vektor Matematika
Setelah memahami definisi dan operasi-operasi vektor, kita dapat mempelajari rumus-rumus vektor matematika yang lebih kompleks. Berikut adalah beberapa rumus vektor matematika yang sering digunakan:
Rumus Panjang Vektor
Panjang vektor dapat dihitung dengan menghitung akar kuadrat dari jumlah kuadrat komponen vektor. Sebagai contoh, jika terdapat vektor a = (2,3), maka panjang vektor a adalah:
|a| = sqrt(2^2 + 3^2) = sqrt(13)
Panjang vektor sering digunakan untuk menghitung jarak antara dua titik dalam ruang tiga dimensi.
Rumus Dot Product
Dot product (atau juga disebut inner product) adalah suatu operasi vektor yang menghasilkan suatu bilangan skalar. Rumus dot product antara vektor a dan vektor b dapat dituliskan sebagai:
a . b = |a| |b| cos(theta)
dimana |a| dan |b| adalah panjang vektor a dan b, serta theta adalah sudut antara kedua vektor tersebut.
Rumus Cross Product
Cross product (atau juga disebut outer product) adalah suatu operasi vektor yang menghasilkan suatu vektor baru yang tegak lurus dengan kedua vektor yang dioperasikan. Rumus cross product antara vektor a dan vektor b dapat dituliskan sebagai:
a x b = |a| |b| sin(theta) n
dimana |a| dan |b| adalah panjang vektor a dan b, serta theta adalah sudut antara kedua vektor tersebut. n adalah vektor satuan yang tegak lurus dengan kedua vektor tersebut (dapat dihitung dengan menggunakan aturan tangan kanan).
Rumus Proyeksi Vektor
Proyeksi vektor adalah suatu teknik untuk menentukan komponen suatu vektor yang searah dengan vektor lain. Rumus proyeksi vektor antara vektor a dan vektor b dapat dituliskan sebagai:
proj_b a = (a . b / |b|) (b / |b|)
dimana proj_b a adalah proyeksi vektor a pada vektor b.
Rumus Decomposisi Vektor
Decomposisi vektor adalah suatu teknik untuk memecah suatu vektor menjadi dua vektor yang saling tegak lurus. Rumus decomposisi vektor dapat dituliskan sebagai:
a = proj_b a + rej_b a
dimana proj_b a adalah proyeksi vektor a pada vektor b, dan rej_b a adalah vektor yang tegak lurus dengan vektor b.
Contoh Soal dan Pembahasan
Berikut adalah beberapa contoh soal dan pembahasan mengenai rumus vektor matematika:
Contoh Soal 1
Tentukan dot product dan cross product antara vektor a = (2,3,-1) dan vektor b = (-4,1,5).
Pembahasan:
Dot product antara a dan b dapat dihitung menggunakan rumus:
a . b = |a| |b| cos(theta)
Panjang vektor a dan b dapat dihitung sebagai berikut:
|a| = sqrt(2^2 + 3^2 + (-1)^2) = sqrt(14)
|b| = sqrt((-4)^2 + 1^2 + 5^2) = sqrt(42)
Sudut theta dapat dihitung menggunakan rumus cos(theta) = a . b / |a| |b|, sehingga:
cos(theta) = (2*-4 + 3*1 + (-1)*5) / sqrt(14) sqrt(42) = -7 / (2 sqrt(14) sqrt(42))
Sehingga dot product antara a dan b adalah:
a . b = sqrt(14) sqrt(42) (-7 / (2 sqrt(14) sqrt(42))) = -7/2
Cross product antara a dan b dapat dihitung menggunakan rumus:
a x b = |a| |b| sin(theta) n
Sudut theta dapat dihitung menggunakan rumus sin(theta) = |a x b| / |a| |b|, sehingga:
sin(theta) = |a x b| / sqrt(14) sqrt(42)
Untuk menghitung vektor satuan n, dapat digunakan aturan tangan kanan:
begin{bmatrix} i & j & k \ 2 & 3 & -1 \ -4 & 1 & 5 end{bmatrix}
= (15i + 2j + 11k) – (3i + 22j + 1k)
= 12i – 20j + 10k
Sehingga cross product antara a dan b adalah:
a x b = sqrt(14) sqrt(42) sin(theta) (12i – 20j + 10k)
= sqrt(14) sqrt(42) (12i – 20j + 10k) / sqrt(14) sqrt(42)
= 12i – 20j + 10k
Contoh Soal 2
Tentukan proyeksi vektor a = (1,-2,3) pada vektor b = (2,1,-1).
Pembahasan:
Proyeksi vektor a pada vektor b dapat dihitung menggunakan rumus:
proj_b a = (a . b / |b|) (b / |b|)
Panjang vektor b dapat dihitung sebagai berikut:
|b| = sqrt(2
