Belajar Rumus Persamaan Kuadrat: Solusi Exact Untuk Mencari Akar-Akar Persamaan Kuadrat

Pendahuluan

Rumus persamaan kuadrat adalah salah satu rumus matematika yang paling penting dalam kelas matematika. Rumus ini digunakan untuk menentukan akar-akar dari sebuah persamaan kuadrat. Persamaan kuadrat sendiri adalah persamaan yang memiliki bentuk ax^2 + bx + c = 0, dimana a, b, dan c merupakan konstanta dan x merupakan variabel yang harus dicari.

Rumus persamaan kuadrat dapat digunakan untuk menyelesaikan masalah dalam kehidupan sehari-hari, seperti menghitung jarak antara dua titik di dalam ruang, memprediksi ketinggian bola ketika dilempar ke udara, atau menentukan keuntungan atau kerugian dalam bisnis. Oleh karena itu, sangat penting untuk memahami rumus persamaan kuadrat dan cara mengaplikasikannya dalam berbagai situasi.

Cara Mencari Akar-Akar Persamaan Kuadrat

Untuk mencari akar-akar persamaan kuadrat, kita bisa menggunakan rumus persamaan kuadrat. Rumus ini dinyatakan sebagai berikut:

x = (-b ± √b^2 – 4ac) / 2a

Dalam rumus ini, a, b, dan c masing-masing merupakan koefisien dari variabel x dalam persamaan kuadrat. Rumus ini menghasilkan dua nilai x, yang disebut akar-akar persamaan kuadrat.

Untuk memahami lebih jelas tentang cara mencari akar-akar persamaan kuadrat, mari kita lihat contoh berikut:

Diketahui persamaan kuadrat: x^2 + 6x + 8 = 0

Langkah pertama adalah menentukan nilai a, b, dan c. Dalam persamaan kuadrat di atas, a = 1, b = 6, dan c = 8. Setelah itu, kita dapat memasukkan nilai-nilai ini ke dalam rumus persamaan kuadrat:

x = (-6 ± √6^2 – 4(1)(8)) / 2(1)

x = (-6 ± √36 – 32) / 2

x = (-6 ± √4) / 2

x1 = -2 dan x2 = -4

Jadi, akar-akar persamaan kuadrat x^2 + 6x + 8 = 0 adalah -2 dan -4.

Contoh Soal

Berikut adalah beberapa contoh soal yang dapat diselesaikan dengan menggunakan rumus persamaan kuadrat:

Contoh 1: Diketahui persamaan kuadrat x^2 – 4x + 3 = 0. Tentukan akar-akar persamaan kuadrat tersebut.

Langkah 1: Tentukan nilai a, b, dan c. Dalam persamaan kuadrat di atas, a = 1, b = -4, dan c = 3.

Langkah 2: Masukkan nilai-nilai tersebut ke dalam rumus persamaan kuadrat:

x = (4 ± √16 – 12) / 2

x = (4 ± √4) / 2

x1 = 3 dan x2 = 1

Jadi, akar-akar persamaan kuadrat x^2 – 4x + 3 = 0 adalah 3 dan 1.

Contoh 2: Sebuah bola dilempar ke atas dari ketinggian 2 meter dengan kecepatan awal 20 m/s. Ketinggian bola dapat dinyatakan dalam persamaan kuadrat h = -5t^2 + 20t + 2, dimana h adalah ketinggian bola dalam meter pada detik ke-t, dan t adalah waktu dalam detik sejak bola dilempar. Pada ketinggian berapa bola akan berada kembali di tanah?

Langkah 1: Tentukan nilai a, b, dan c. Dalam persamaan kuadrat di atas, a = -5, b = 20, dan c = 2.

Langkah 2: Cari nilai t ketika h = 0, karena pada saat itu bola akan berada di tanah.

0 = -5t^2 + 20t + 2

5t^2 – 20t – 2 = 0

Langkah 3: Masukkan nilai-nilai tersebut ke dalam rumus persamaan kuadrat:

t = (20 ± √20^2 – 4(5)(-2)) / 2(5)

t = (20 ± √1440) / 10

t1 = 0.53 dan t2 = 3.47

Karena tidak mungkin bola kembali ke tanah setelah 3.47 detik, maka kita ambil t = 0.53 detik. Pada saat itu, ketinggian bola adalah:

h = -5(0.53)^2 + 20(0.53) + 2

h = 10.56 meter

Jadi, bola akan berada kembali di tanah pada ketinggian 10.56 meter.

Cara Memplot Grafik Persamaan Kuadrat

Selain mencari akar-akar persamaan kuadrat, kita juga dapat memplot grafik persamaan kuadrat. Grafik ini akan menunjukkan bentuk kurva dari persamaan kuadrat, serta titik-titik ekstremumnya.

Untuk memplot grafik persamaan kuadrat, kita perlu mengikuti langkah-langkah berikut:

Langkah 1: Tentukan nilai a, b, dan c pada persamaan kuadrat.

Langkah 2: Hitung diskriminan persamaan kuadrat dengan menggunakan rumus D = b^2 – 4ac.

Langkah 3: Tentukan tipe dari grafik persamaan kuadrat berdasarkan nilai diskriminan:

– Jika D > 0, maka grafik persamaan kuadrat akan berupa kurva yang membentuk huruf U terbalik. Titik-titik ekstremum dari kurva berada di titik (h, k), dimana h = -b/2a dan k = -D/4a.

– Jika D = 0, maka grafik persamaan kuadrat akan berupa kurva yang membentuk parabola dengan satu titik puncak. Titik puncak tersebut berada di titik (h, k), dimana h = -b/2a dan k = c – b^2/4a.

– Jika D < 0, maka grafik persamaan kuadrat tidak memotong sumbu x dan tidak memiliki titik-titik ekstremum. Langkah 4: Tentukan titik-titik penting lainnya pada grafik persamaan kuadrat, seperti titik potong sumbu y dan titik potong sumbu x. Berikut adalah contoh cara memplot grafik persamaan kuadrat: Contoh: Plot grafik persamaan kuadrat y = x^2 – 4x + 3 Langkah 1: Tentukan nilai a, b, dan c. Dalam persamaan kuadrat di atas, a = 1, b = -4, dan c = 3. Langkah 2: Hitung diskriminan persamaan kuadrat: D = (-4)^2 – 4(1)(3) = 4 Karena D > 0, maka grafik persamaan kuadrat akan berupa kurva yang membentuk huruf U terbalik.

Langkah 3: Tentukan titik-titik ekstremum:

h = -b/2a = -(-4)/2(1) = 2

k = -D/4a = -4/4(1) = -1

Titik ekstremum dari kurva berada di titik (2, -1).

Langkah 4: Tentukan titik potong sumbu y:

Jika x = 0, maka y = 3. Jadi, titik potong sumbu y berada di titik (0, 3).

Langkah 5: Tentukan titik potong sumbu x:

y = 0 = x^2 – 4x + 3

(x – 1)(x – 3) = 0

Jadi, titik potong sumbu x berada di titik (1, 0) dan (3, 0).

Dengan mengetahui titik-titik penting pada grafik persamaan kuadrat, kita dapat dengan mudah memvisualisasikan bentuk kurva dari persamaan kuadrat tersebut.

Kesimpulan

Rumus persamaan kuadrat adalah rumus matematika yang sangat penting dalam kelas matematika. Rumus ini digunakan