Rumus Determinan Matriks 3×3: Menghitung Nilai Exact Dengan Metode Sarrus

Pengertian Determinan Matriks 3×3

Determinan matriks 3×3 adalah nilai skalar yang akan diperoleh dari operasi matematika pada elemen-elemen matriks 3×3. Nilai ini sangat penting dalam menyelesaikan sistem persamaan linear, penghitungan luas segitiga, volume kubus, serta penghitungan rotasi dan skalasi pada objek 3 dimensi.

Rumus Determinan Matriks 3×3

Rumus untuk menghitung determinan dari matriks 3×3 adalah sebagai berikut:

| a b c |
| d e f |
| g h i |

Determinan = a(ei-fh) – b(di-fg) + c(dh-eg)

Cara Menghitung Determinan Matriks 3×3

Berikut adalah langkah-langkah untuk menghitung determinan matriks 3×3:

1. Tentukan matriks 3×3 yang akan dihitung determinannya. Contoh:

| 3 5 2 |
| 1 4 7 |
| 6 2 9 |

2. Tuliskan kembali matriks di atas dengan menambahkan kembali dua kolom pertama matriks di sisi kanan seperti gambar di bawah ini:

| 3 5 2 | 3 5 |
| 1 4 7 | 1 4 |
| 6 2 9 | 6 2 |

3. Hitung masing-masing diagonal kanan dan kiri pada matriks seperti gambar di bawah ini:

Diagonal kiri: 3x4x9 + 5x7x6 + 2x1x2 = 108
Diagonal kanan: 2x4x6 + 5x1x9 + 3x7x2 = -60

4. Kurangkan diagonal kanan dengan diagonal kiri untuk mendapatkan nilai determinan:

Determinan = 108 – (-60) = 168

Dengan demikian, determinan dari matriks di atas adalah 168.

Contoh Soal Menghitung Determinan Matriks 3×3

Berikut adalah contoh soal untuk menghitung determinan matriks 3×3:

| 2 3 5 |
| 4 1 6 |
| 7 8 9 |

Langkah-langkah untuk menghitung determinan dari matriks di atas adalah sebagai berikut:

1. Tuliskan kembali matriks dengan menambahkan kembali dua kolom pertama matriks di sisi kanan seperti gambar di bawah ini:

| 2 3 5 | 2 3 |
| 4 1 6 | 4 1 |
| 7 8 9 | 7 8 |

2. Hitung masing-masing diagonal kanan dan kiri pada matriks seperti gambar di bawah ini:

Diagonal kiri: 2x1x9 + 3x6x7 + 5x4x8 = 122
Diagonal kanan: 5x1x7 + 3x8x4 + 2x6x9 = -101

3. Kurangkan diagonal kanan dengan diagonal kiri untuk mendapatkan nilai determinan:

Determinan = 122 – (-101) = 223

Dengan demikian, determinan dari matriks di atas adalah 223.

Keuntungan Menghitung Determinan Matriks 3×3

Menghitung determinan matriks 3×3 memiliki beberapa keuntungan, di antaranya:

1. Dapat digunakan untuk menyelesaikan sistem persamaan linear. Dengan mengetahui nilai determinan, kita dapat menentukan apakah sistem persamaan linear tersebut dapat diselesaikan atau tidak.

2. Dapat digunakan untuk menentukan apakah matriks memiliki invers atau tidak. Jika determinan dari sebuah matriks adalah nol, maka matriks tersebut tidak memiliki invers.

3. Dapat digunakan untuk menghitung luas segitiga. Dalam geometri, determinan matriks 3×3 dapat digunakan untuk menghitung luas segitiga jika koordinat tiga titik sudut segitiga diketahui.

4. Dapat digunakan untuk menghitung volume kubus. Dalam matematika, determinan matriks 3×3 dapat digunakan untuk menghitung volume kubus.

5. Dapat digunakan untuk menghitung rotasi dan skalasi pada objek 3 dimensi. Dalam ilmu komputer grafis, determinan matriks 3×3 dapat digunakan untuk menghitung rotasi dan skalasi pada objek 3 dimensi.

Kesimpulan

Determinan matriks 3×3 adalah nilai skalar yang sangat penting dalam matematika dan ilmu komputer grafis. Menghitung determinan matriks 3×3 dapat dilakukan dengan mengikuti langkah-langkah yang telah disebutkan di atas. Dalam pengaplikasiannya, determinan matriks 3×3 dapat digunakan untuk menyelesaikan sistem persamaan linear, menghitung luas segitiga, volume kubus, serta menghitung rotasi dan skalasi pada objek 3 dimensi. Oleh karena itu, penting bagi kita untuk memahami cara menghitung determinan matriks 3×3 dan penggunaannya dalam berbagai masalah matematika dan ilmu komputer grafis.