Persamaan Kuadrat Sempurna

Persamaan kuadrat sempurna adalah suatu bentuk persamaan kuadrat yang dapat ditulis dalam bentuk $(x+a)^2=b$, di mana $a$ dan $b$ adalah bilangan riil konstan. Persamaan ini juga dapat ditulis dalam bentuk $x^2+2ax+a^2=b$. Pada pembahasan kali ini, akan dibahas secara lengkap mengenai persamaan kuadrat sempurna, mulai dari pengertian, sifat-sifat, cara mencari akar, dan contoh soal beserta penyelesaiannya.

Pengertian Persamaan Kuadrat Sempurna

Persamaan kuadrat adalah suatu bentuk persamaan matematika yang dapat ditulis dalam bentuk $ax^2+bx+c=0$, di mana $a$, $b$, dan $c$ adalah bilangan riil konstan, dan $x$ adalah variabel. Persamaan kuadrat memiliki dua akar yang dapat ditentukan dengan menggunakan rumus kuadrat, yaitu $x=frac{-bpmsqrt{b^2-4ac}}{2a}$.

Persamaan kuadrat sempurna adalah suatu bentuk persamaan kuadrat yang dapat ditulis dalam bentuk $(x+a)^2=b$, di mana $a$ dan $b$ adalah bilangan riil konstan. Persamaan kuadrat sempurna juga dapat ditulis dalam bentuk $x^2+2ax+a^2=b$. Dalam persamaan kuadrat sempurna, akar-akarnya dapat langsung ditentukan tanpa menggunakan rumus kuadrat.

Sifat-sifat Persamaan Kuadrat Sempurna

Berikut adalah beberapa sifat-sifat persamaan kuadrat sempurna:

1. Akar-akar persamaan kuadrat sempurna dapat ditentukan langsung dengan menggunakan rumus $(x+a)^2=b$. Jadi, tidak perlu menggunakan rumus kuadrat seperti pada persamaan kuadrat biasa.

2. Dalam persamaan kuadrat sempurna, koefisien $a$ selalu sama dengan 1. Oleh karena itu, rumus kuadrat tidak diperlukan.

3. Dalam persamaan kuadrat sempurna, kedua akar memiliki nilai yang sama. Hal ini dikarenakan persamaan kuadrat sempurna memiliki bentuk $(x+a)^2=b$, di mana $a$ adalah jarak antara kedua akar.

4. Nilai dari $a$ dapat ditentukan dengan menggunakan rumus $a=sqrt{b}$.

Cara Mencari Akar Persamaan Kuadrat Sempurna

Berikut adalah cara mencari akar persamaan kuadrat sempurna:

1. Tentukan nilai $a$ dan $b$ pada persamaan $(x+a)^2=b$.

2. Carilah nilai akar-akar persamaan kuadrat sempurna dengan menggunakan rumus $x=-apmsqrt{b}$.

Contoh:

Tentukan akar-akar dari persamaan kuadrat $x^2+4x+4=0$.

Jawab:

Persamaan kuadrat di atas memiliki bentuk $(x+2)^2=0$. Oleh karena itu, nilai $a=2$ dan $b=0$. Selanjutnya, untuk mencari akar-akar persamaan kuadrat, dapat digunakan rumus $x=-2pmsqrt{0}$. Sehingga, akar-akar persamaan kuadrat tersebut adalah $x=-2$.

Contoh Soal dan Penyelesaian

Berikut adalah beberapa contoh soal beserta penyelesaiannya mengenai persamaan kuadrat sempurna:

Contoh 1:

Tentukan akar-akar dari persamaan kuadrat $x^2+10x+25=0$.

Penyelesaian:

Persamaan kuadrat di atas dapat dituliskan dalam bentuk $(x+5)^2=0$. Oleh karena itu, $a=5$ dan $b=0$. Selanjutnya, untuk mencari akar-akar persamaan kuadrat, dapat digunakan rumus $x=-5pmsqrt{0}$. Sehingga, akar-akar persamaan kuadrat tersebut adalah $x=-5$.

Contoh 2:

Tentukan akar-akar dari persamaan kuadrat $x^2+6x+9=0$.

Penyelesaian:

Persamaan kuadrat di atas dapat dituliskan dalam bentuk $(x+3)^2=0$. Oleh karena itu, $a=3$ dan $b=0$. Selanjutnya, untuk mencari akar-akar persamaan kuadrat, dapat digunakan rumus $x=-3pmsqrt{0}$. Sehingga, akar-akar persamaan kuadrat tersebut adalah $x=-3$.

Contoh 3:

Tentukan akar-akar dari persamaan kuadrat $x^2-8x+16=0$.

Penyelesaian:

Persamaan kuadrat di atas dapat dituliskan dalam bentuk $(x-4)^2=0$. Oleh karena itu, $a=-4$ dan $b=0$. Selanjutnya, untuk mencari akar-akar persamaan kuadrat, dapat digunakan rumus $x=4pmsqrt{0}$. Sehingga, akar-akar persamaan kuadrat tersebut adalah $x=4$.

Contoh 4:

Tentukan akar-akar dari persamaan kuadrat $x^2+2x+1=0$.

Penyelesaian:

Persamaan kuadrat di atas dapat dituliskan dalam bentuk $(x+1)^2=0$. Oleh karena itu, $a=1$ dan $b=0$. Selanjutnya, untuk mencari akar-akar persamaan kuadrat, dapat digunakan rumus $x=-1pmsqrt{0}$. Sehingga, akar-akar persamaan kuadrat tersebut adalah $x=-1$.

Contoh 5:

Tentukan akar-akar dari persamaan kuadrat $x^2+6x+5=0$.

Penyelesaian:

Persamaan kuadrat di atas dapat dituliskan dalam bentuk $(x+1)(x+5)=0$. Oleh karena itu, $a=3$ dan $b=25$. Selanjutnya, untuk mencari akar-akar persamaan kuadrat, dapat digunakan rumus $x=-1pmsqrt{5}$. Sehingga, akar-akar persamaan kuadrat tersebut adalah $x=-1+sqrt{5}$ dan $x=-1-sqrt{5}$.

Kesimpulan

Persamaan kuadrat sempurna adalah suatu bentuk persamaan kuadrat yang dapat ditulis dalam bentuk $(x+a)^2=b$, di mana $a$ dan $b$ adalah bilangan riil konstan. Persamaan ini juga dapat ditulis dalam bentuk $x^2+2ax+a^2=b$. Pada persamaan kuadrat sempurna, akar-akarnya dapat langsung ditentukan tanpa menggunakan rumus kuadrat. Selain itu, persamaan kuadrat sempurna memiliki sifat-sifat tertentu, seperti nilai $a$ selalu sama dengan 1 dan kedua akar memiliki nilai yang sama. Untuk mencari akar persamaan kuadrat sempurna, dapat digunakan rumus $x=-apmsqrt{b}$.