Belajar Matematika: Contoh Soal Persamaan Kuadrat Dan Penyelesaiannya Secara Lengkap

Pendahuluan

Persamaan kuadrat merupakan salah satu jenis persamaan matematika yang sering ditemukan pada pelajaran matematika sekolah menengah atas. Persamaan kuadrat memiliki bentuk umum ax² + bx + c = 0, di mana a, b, dan c adalah konstanta dan x adalah variabel. Penyelesaian persamaan kuadrat seringkali melibatkan rumus kuadratik dan faktorisasi. Dalam artikel ini, akan dibahas beberapa contoh soal persamaan kuadrat beserta penyelesaiannya.

Contoh Soal 1

Tentukan akar-akar dari persamaan kuadrat berikut: 2x² – 5x + 2 = 0.

Penyelesaian

Untuk menyelesaikan persamaan kuadrat ini, kita dapat menggunakan rumus kuadratik. Rumus kuadratik adalah:

x = (-b ± √(b² – 4ac))/2a

Dalam persamaan kuadrat 2x² – 5x + 2 = 0, a = 2, b = -5, dan c = 2. Oleh karena itu, kita dapat menghitung akar-akar persamaan kuadrat ini sebagai berikut:

x = (-(-5) ± √((-5)² – 4(2)(2)))/2(2)
x = (5 ± √(25 – 16))/4
x = (5 ± √9)/4

Maka, akar-akar dari persamaan kuadrat ini adalah:

x₁ = (5 + 3)/4 = 2
x₂ = (5 – 3)/4 = 1/2

Dengan demikian, jawaban dari soal ini adalah x₁ = 2 dan x₂ = 1/2.

Contoh Soal 2

Tentukan persamaan kuadrat yang akar-akarnya adalah 4 dan -1.

Penyelesaian

Untuk menyelesaikan soal ini, kita dapat menggunakan konsep faktorisasi. Akar-akar dari persamaan kuadrat dapat digunakan untuk menentukan faktor-faktor persamaan kuadrat. Jika akar-akar persamaan kuadrat adalah α dan β, maka persamaan kuadrat dapat dinyatakan dalam bentuk:

(x – α)(x – β) = 0

Dalam soal ini, akar-akar persamaan kuadrat adalah 4 dan -1. Oleh karena itu, kita dapat menuliskan persamaan kuadratnya sebagai:

(x – 4)(x – (-1)) = 0
(x – 4)(x + 1) = 0
x² – 3x – 4 = 0

Maka, jawaban dari soal ini adalah persamaan kuadrat x² – 3x – 4 = 0.

Contoh Soal 3

Jika persamaan kuadrat 3x² + kx + 1 = 0 memiliki akar-akar yang berbeda sebesar 2, tentukan nilai k.

Penyelesaian

Jika persamaan kuadrat memiliki akar-akar yang berbeda sebesar 2, maka diskriminan persamaan kuadrat harus positif. Diskriminan persamaan kuadrat dapat dihitung menggunakan rumus:

D = b² – 4ac

Dalam persamaan kuadrat 3x² + kx + 1 = 0, a = 3, b = k, dan c = 1. Oleh karena itu, diskriminan persamaan kuadrat ini adalah:

D = k² – 4(3)(1)
D = k² – 12

Karena persamaan kuadrat ini memiliki akar-akar yang berbeda sebesar 2, maka diskriminannya harus positif. Oleh karena itu, kita dapat menuliskan persamaan:

k² – 12 > 0
k² > 12
k > √12 atau k < -√12 Namun, karena kita tahu bahwa persamaan kuadrat 3x² + kx + 1 = 0 memiliki akar-akar yang berbeda sebesar 2, maka kita dapat menuliskan persamaan kuadrat ini dalam bentuk faktorisasi seperti contoh soal sebelumnya: 3x² + kx + 1 = 3(x – α)(x – β) Karena akar-akar persamaan kuadrat ini berbeda sebesar 2, maka kita dapat menuliskannya sebagai: α – β = 2 Dalam persamaan kuadrat 3x² + kx + 1 = 0, a = 3, b = k, dan c = 1. Oleh karena itu, akar-akar persamaan kuadrat ini dapat dihitung menggunakan rumus kuadratik: x = (-b ± √(b² – 4ac))/2a Untuk akar pertama, kita dapat menuliskannya sebagai: α = (-k + √(k² – 4(3)(1)))/2(3) Untuk akar kedua, kita dapat menuliskannya sebagai: β = (-k – √(k² – 4(3)(1)))/2(3) Karena α – β = 2, maka kita dapat menuliskannya sebagai: (-k + √(k² – 4(3)(1)))/2(3) – (-k – √(k² – 4(3)(1)))/2(3) = 2 Atau setelah disederhanakan: √(k² – 12) = 2 Setelah dipangkatkan kedua, maka diperoleh persamaan: k² – 12 = 4 Kemudian, setelah disederhanakan, diperoleh persamaan:

k² = 16 Maka, nilai k dapat dihitung sebagai: k = ±4 Namun, karena kita telah menunjukkan sebelumnya bahwa k > √12 atau k < -√12, maka nilai k yang valid dalam soal ini adalah k = 4. Oleh karena itu, jawaban dari soal ini adalah k = 4.

Contoh Soal 4

Tentukan persamaan kuadrat dengan akar-akar 3 + √2 dan 3 – √2.

Penyelesaian

Untuk menyelesaikan soal ini, kita dapat menggunakan konsep faktorisasi seperti contoh soal sebelumnya. Akar-akar persamaan kuadrat dapat digunakan untuk menentukan faktor-faktor persamaan kuadrat. Jika akar-akar persamaan kuadrat adalah α dan β, maka persamaan kuadrat dapat dinyatakan dalam bentuk:

(x – α)(x – β) = 0

Dalam soal ini, akar-akar persamaan kuadrat adalah 3 + √2 dan 3 – √2. Oleh karena itu, kita dapat menuliskan persamaan kuadratnya sebagai:

(x – (3 + √2))(x – (3 – √2)) = 0
(x – 3 – √2)(x – 3 + √2) = 0

Kemudian, setelah dikalikan, diperoleh:

x² – (3 + √2 + 3 – √2)x + (3 + √2)(3 – √2) = 0
x² – 6x + 7 = 0

Maka, jawaban dari soal ini adalah persamaan kuadrat x² – 6x + 7 = 0.

Contoh Soal 5

Tentukan akar-akar persamaan kuadrat 2x² – 7x + 6 = 0 dengan menggunakan metode faktorisasi.

Penyelesaian

Untuk menyelesaikan persamaan kuadrat ini dengan menggunakan metode faktorisasi, kita perlu mencari dua bilangan yang jika dikalikan sama dengan hasil kali antara koefisien a dan c, yaitu 2 x 6 = 12, dan jika dijumlahkan sama dengan koefisien b, yaitu -7. Bilangan-bilangan ini dapat dicari dengan mencoba-coba atau dengan menggunakan metode faktorisasi yang lebih sistematis.

Salah satu metode faktorisasi yang sistematis adalah metode faktorisasi AC. Metode ini melibatkan pengelompokkan koefisien-koefisien persamaan kuadr