Contoh Soal Deret Aritmatika Sederhana Untuk Latihan Matematika Dasar

Pendahuluan

Deret aritmatika adalah deret bilangan yang setiap suku berbeda dengan suku sebelumnya dengan tetap menambahkan nilai yang sama. Deret ini sangat sering muncul dalam matematika, fisika, dan berbagai ilmu lainnya.

Dalam artikel ini, kita akan membahas contoh soal deret aritmatika beserta solusinya. Tujuan dari artikel ini adalah untuk membantu Anda memahami bagaimana cara menyelesaikan soal deret aritmatika dengan tepat dan mudah dipahami.

Cara Menyelesaikan Soal Deret Aritmatika

Sebelum kita membahas contoh soal deret aritmatika, ada beberapa langkah yang perlu kita ketahui untuk menyelesaikannya dengan tepat. Langkah-langkah tersebut adalah sebagai berikut:

1. Tentukan suku pertama (a) dan beda (d) dari deret aritmatika.
2. Tentukan banyaknya suku (n) dari deret aritmatika yang diketahui.
3. Gunakan rumus deret aritmatika untuk mencari jumlah (Sn) dari deret tersebut.

Contoh Soal Deret Aritmatika

Berikut adalah beberapa contoh soal deret aritmatika beserta solusinya:

Contoh Soal 1

Diketahui suku pertama dari sebuah deret aritmatika adalah 3 dan bedanya adalah 5. Tentukan suku ke-9 dari deret tersebut.

Penyelesaian:

a = 3

d = 5

Kita dapat menggunakan rumus suku ke-n dari deret aritmatika, yaitu:

an = a + (n – 1)d

Dalam hal ini, n = 9. Maka:

a9 = 3 + (9 – 1)5

a9 = 3 + 40

a9 = 43

Jadi, suku ke-9 dari deret aritmatika tersebut adalah 43.

Contoh Soal 2

Diketahui suku pertama dari sebuah deret aritmatika adalah 2 dan bedanya adalah 6. Tentukan jumlah dari 9 suku pertama dari deret tersebut.

Penyelesaian:

a = 2

d = 6

Kita dapat menggunakan rumus jumlah n suku pertama dari deret aritmatika, yaitu:

Sn = n/2(2a + (n – 1)d)

Dalam hal ini, n = 9. Maka:

Sn = 9/2(2 x 2 + (9 – 1)6)

Sn = 9/2(4 + 48)

Sn = 9/2(52)

Sn = 234

Jadi, jumlah 9 suku pertama dari deret aritmatika tersebut adalah 234.

Contoh Soal 3

Diketahui suku ke-5 dari sebuah deret aritmatika adalah 13 dan suku ke-9 adalah 25. Tentukan suku pertama dan beda dari deret tersebut.

Penyelesaian:

Kita dapat menggunakan sistem persamaan linear dua variabel untuk menyelesaikan soal ini. Pertama, kita cari nilai a dan d.

Suku ke-5:

a + (5 – 1)d = 13

a + 4d = 13

Suku ke-9:

a + (9 – 1)d = 25

a + 8d = 25

Kita dapat menyelesaikan sistem persamaan tersebut dengan cara eliminasi atau substitusi. Kita akan menggunakan cara substitusi.

Dari persamaan pertama, kita dapat mencari nilai a:

a = 13 – 4d

Kita substitusikan nilai a ke persamaan kedua:

13 – 4d + 8d = 25

4d = 12

d = 3

Kita kembali ke persamaan pertama untuk mencari nilai a:

a + 4(3) = 13

a = 1

Jadi, suku pertama dari deret aritmatika tersebut adalah 1 dan bedanya adalah 3.

Contoh Soal 4

Diketahui jumlah dari 12 suku pertama dari sebuah deret aritmatika adalah 372 dan suku ke-5 adalah 14. Tentukan suku ke-12 dari deret tersebut.

Penyelesaian:

Dari informasi yang diberikan, kita dapat menentukan suku pertama dan beda dari deret aritmatika tersebut.

Pertama, kita cari nilai a dan d.

Jumlah 12 suku pertama:

Sn = 372

n = 12

Sn = n/2(2a + (n – 1)d)

372 = 12/2(2a + 11d)

31 = 2a + 11d

Suku ke-5:

a + (5 – 1)d = 14

a + 4d = 14

Kita dapat menyelesaikan sistem persamaan tersebut dengan cara eliminasi atau substitusi. Kita akan menggunakan cara substitusi.

Dari persamaan pertama, kita dapat mencari nilai a:

a = 14 – 4d

Kita substitusikan nilai a ke persamaan kedua:

14 – 4d + 11d = 31

7d = 17

d = 2

Kita kembali ke persamaan pertama untuk mencari nilai a:

a = 14 – 4(2)

a = 6

Sekarang kita dapat mencari suku ke-12 dari deret tersebut dengan menggunakan rumus suku ke-n dari deret aritmatika:

a12 = a + (12 – 1)d

a12 = 6 + 11(2)

a12 = 28

Jadi, suku ke-12 dari deret aritmatika tersebut adalah 28.

Contoh Soal 5

Diketahui suatu deret aritmatika memiliki 10 suku. Jika jumlah dari semua suku tersebut adalah 110, tentukan suku pertama dan beda dari deret tersebut.

Penyelesaian:

Dari informasi yang diberikan, kita dapat menggunakan rumus jumlah n suku dari deret aritmatika:

Sn = n/2(2a + (n – 1)d)

Dalam hal ini, n = 10 dan Sn = 110. Maka:

110 = 10/2(2a + 9d)

11 = 2a + 9d

Kita tidak dapat langsung mencari nilai a dan d dari persamaan tersebut. Namun, kita dapat mengkombinasikan persamaan ini dengan persamaan lain yang berkaitan dengan deret aritmatika.

Kita ketahui bahwa jumlah n suku pertama dari deret aritmatika adalah:

Sn = n/2(2a + (n – 1)d)

Kita juga ketahui bahwa jumlah n suku terakhir dari deret aritmatika adalah:

Sn = n/2(a + an)

Kita dapat menggabungkan persamaan ini dengan persamaan sebelumnya dengan cara mengganti nilai an dengan a + (n – 1)d:

n/2(2a + (n – 1)d) = n/2(a + a + (n – 1)d)

2a + (n – 1)d = 2a + (n – 1)d

Dari persamaan ini, kita dapat mengambil nilai a:

a = 1/2Sn/n

a = 1/2 x 110/10

a = 5.5

Kita kembali ke persamaan Sn = n/2(2a + (n – 1)d) untuk mencari nilai d:

110 = 10/2(2 x 5.5 + 9d)

11 = 11 + 9d

d = 0

Maka, suku pertama dari deret aritmatika tersebut adalah 5.5 dan bedanya adalah 0.

Kesimpulan

Deret aritmatika adalah deret bilangan yang setiap suku berbeda dengan suku sebelumnya dengan tetap menambahkan nilai yang sama. Dalam menyelesaikan soal deret aritmatika, kita perlu menentukan suku pertama dan beda dari deret tersebut, serta menggunakan rumus yang sesuai untuk mencari solusinya. Dalam artikel ini, kita telah membahas beberapa contoh soal deret aritmatika beserta pen