Bicara Fakta Informasi Berita Terkini, Berita Terbaru dan Berita Hari Ini
Cara Menghitung Himpunan
Himpunan merupakan salah satu konsep dasar dalam matematika. Himpunan adalah kumpulan objek atau elemen-elemen yang memiliki sifat-sifat yang sama atau memiliki kesamaan tertentu. Dalam matematika, himpunan dapat dihitung dan dioperasikan seperti halnya bilangan. Berikut ini akan dijelaskan cara menghitung himpunan secara lengkap.
1. Definisi Himpunan
Sebelum memulai menghitung himpunan, ada baiknya kita memahami terlebih dahulu apa itu himpunan. Himpunan adalah kumpulan objek atau elemen-elemen yang memiliki sifat-sifat yang sama atau memiliki kesamaan tertentu. Dalam matematika, himpunan dapat dinyatakan dengan notasi khusus, yaitu dengan menggunakan tanda kurung kurawal {}.
Contoh :
Himpunan bilangan bulat positif yang kurang dari 5 dapat dituliskan sebagai berikut :
A = {1, 2, 3, 4}
2. Cara Membuat Himpunan
Ada beberapa cara untuk membuat himpunan, yaitu :
a. Cara Menyebutkan Elemen Himpunan Secara Langsung
Cara ini dilakukan dengan menyebutkan setiap elemen yang ada dalam suatu himpunan. Misalnya, himpunan bilangan prima antara 1 dan 10 dapat dituliskan sebagai berikut :
B = {2, 3, 5, 7}
b. Cara Menyebutkan Elemen Himpunan Secara Tak Langsung
Cara ini dilakukan dengan menyebutkan sifat-sifat atau ciri-ciri dari elemen yang ada dalam suatu himpunan. Misalnya, himpunan bilangan genap antara 1 dan 10 dapat dituliskan sebagai berikut :
C = {x | x adalah bilangan bulat positif dan x dibagi dua}
c. Cara Menggunakan Diagram Venn
Cara ini dilakukan dengan menggunakan diagram Venn yang terdiri dari lingkaran-lingkaran yang menunjukkan himpunan-himpunan yang ada dan daerah-daerah yang tumpang tindih menunjukkan elemen-elemen yang sama. Misalnya, jika kita memiliki dua himpunan A dan B, maka dapat kita gambarkan diagram Venn sebagai berikut :
Gambar 1 : Diagram Venn Himpunan A dan B
3. Operasi Himpunan
Setelah kita memahami cara membuat himpunan, selanjutnya adalah memahami operasi-operasi yang dapat dilakukan pada himpunan. Terdapat empat operasi dasar pada himpunan, yaitu :
a. Gabungan (union)
b. Irisan (intersection)
c. Selisih (difference)
d. Komplemen (complement)
a. Gabungan (union)
Gabungan dari dua himpunan A dan B adalah sebuah himpunan yang terdiri dari semua elemen yang ada dalam himpunan A atau B atau keduanya. Gabungan himpunan A dan B dapat dituliskan dengan menggunakan simbol ∪ (union).
Contoh :
Jika A = {1, 2, 3} dan B = {2, 3, 4}, maka gabungan himpunan A dan B adalah :
A ∪ B = {1, 2, 3, 4}
b. Irisan (intersection)
Irisan dari dua himpunan A dan B adalah sebuah himpunan yang terdiri dari semua elemen yang ada dalam himpunan A dan B secara bersamaan. Irisan himpunan A dan B dapat dituliskan dengan menggunakan simbol ∩ (intersection).
Contoh :
Jika A = {1, 2, 3} dan B = {2, 3, 4}, maka irisan himpunan A dan B adalah :
A ∩ B = {2, 3}
c. Selisih (difference)
Selisih dari dua himpunan A dan B adalah sebuah himpunan yang terdiri dari semua elemen yang ada dalam himpunan A namun tidak ada dalam himpunan B. Selisih himpunan A dan B dapat dituliskan dengan menggunakan simbol – (minus).
Contoh :
Jika A = {1, 2, 3} dan B = {2, 3, 4}, maka selisih himpunan A dan B adalah :
A – B = {1}
d. Komplemen (complement)
Komplemen dari sebuah himpunan A adalah sebuah himpunan yang terdiri dari semua elemen yang tidak ada dalam himpunan A, namun ada dalam himpunan semesta U. Komplemen himpunan A dapat dituliskan dengan menggunakan simbol A (sama dengan negasi A).
Contoh :
Jika A = {1, 2, 3} dan U = {1, 2, 3, 4, 5}, maka komplemen himpunan A adalah :
A = {4, 5}
4. Cara Menghitung Himpunan
Setelah memahami operasi-operasi dasar pada himpunan, selanjutnya adalah bagaimana cara menghitung himpunan. Ada beberapa cara yang dapat dilakukan untuk menghitung himpunan, yaitu :
a. Menghitung Himpunan dengan Menyebutkan Elemen Satu Persatu
Cara ini dilakukan dengan menyebutkan setiap elemen yang ada dalam himpunan. Misalnya, kita ingin menghitung himpunan bilangan ganjil antara 1 dan 10, maka dapat dituliskan sebagai berikut :
D = {1, 3, 5, 7, 9}
b. Menghitung Himpunan dengan Menyebutkan Elemen Berdasarkan Sifat-Sifatnya
Cara ini dilakukan dengan menyebutkan sifat-sifat atau ciri-ciri dari elemen yang ada dalam suatu himpunan. Misalnya, kita ingin menghitung himpunan bilangan prima antara 1 dan 10, maka dapat dituliskan sebagai berikut :
E = {x | x adalah bilangan prima dan 1 ≤ x ≤ 10}
atau
E = {2, 3, 5, 7}
c. Menghitung Himpunan dengan Menggunakan Operasi Himpunan
Cara ini dilakukan dengan menggunakan operasi-operasi dasar pada himpunan. Misalnya, kita ingin menghitung himpunan bilangan bulat positif antara 1 dan 10 yang bukan bilangan prima, maka dapat dilakukan sebagai berikut :
F = {x | x adalah bilangan bulat positif dan 1 ≤ x ≤ 10 dan x bukan bilangan prima}
F = {1, 4, 6, 8, 9, 10}
atau
F = (1, 2, 3, 5, 7)’
Gambar 2 : Diagram Venn Gabungan Himpunan G dan H
5. Contoh Soal
Berikut ini adalah beberapa contoh soal yang dapat dilakukan untuk latihan menghitung himpunan.
Contoh Soal 1 :
Hitunglah himpunan bilangan genap antara 1 dan 10.
Penyelesaian :
Himpunan bilangan genap antara 1 dan 10 adalah :
G = {2, 4, 6, 8, 10}
Contoh Soal 2 :
Hitunglah himpunan bilangan bulat positif antara 1 dan 20 yang merupakan kelipatan 3 atau kelipatan 5.
Penyelesaian :
Himpunan bilangan bulat positif antara 1 dan 20 yang merupakan kelipatan 3 adalah :
H = {3, 6, 9, 12, 15, 18}
Himpunan bilangan bulat positif antara 1 dan 20 yang merupakan kelipatan 5 adalah :
I = {5, 10, 15, 20}
Gabungan dari himpunan H dan I adalah :
H ∪ I = {3, 5, 6, 9, 10, 12, 15, 18, 20}
Contoh Soal 3 :
Hitunglah himpunan bilangan bulat positif antara 1 dan 10 yang bukan bilangan prima.
Penyelesaian :
Himpunan bilangan prima antara 1 dan 10 adalah :
J = {2, 3, 5, 7}
Komplemen dari himpunan J adalah :
J’ = {1, 4, 6, 8, 9, 10}
Contoh Soal 4 :
Hitunglah irisan dari himpunan bilangan bulat positif antara 1 dan 10 yang habis dibagi 2 dan himpunan bilangan bulat positif antara 1 dan 10 yang habis dibagi 5.
Penyelesaian :
Himpunan bilangan bulat positif antara 1 dan 10 yang habis dibagi 2 adalah :
K = {2, 4, 6,
