Cara Menghitung Sudut Antara Dua Vektor

Vektor adalah besaran yang memiliki arah dan besarnya. Salah satu hal penting dalam matematika vektor adalah menghitung sudut antara dua vektor. Sudut antara dua vektor sangat penting dalam berbagai aplikasi seperti fisika, teknik sipil, dan matematika. Pada artikel ini, kita akan membahas cara menghitung sudut antara dua vektor secara komprehensif.

Definisi Sudut Antara Dua Vektor

Sudut antara dua vektor didefinisikan sebagai sudut yang dibentuk oleh kedua vektor ketika ujung mereka disatukan. Sudut ini dapat diukur dalam derajat atau radian.

Cara Menghitung Sudut Antara Dua Vektor

Ada dua cara untuk menghitung sudut antara dua vektor yaitu menggunakan rumus dot product dan rumus cross product.

Menggunakan Rumus Dot Product

Rumus dot product dikenal juga sebagai inner product atau scalar product. Rumus ini menghitung hasil perkalian titik dari dua vektor yang kemudian dihasilkan besaran skalar.

Langkah-langkah menghitung sudut antara dua vektor menggunakan rumus dot product adalah sebagai berikut:

Hitung dot product dari kedua vektor menggunakan rumus a . b = |a| |b| cos θ
Hitung besarnya masing-masing vektor menggunakan rumus |a| = √(a1^2 + a2^2 + a3^2) dan |b| = √(b1^2 + b2^2 + b3^2)
Hitung sudut antara kedua vektor menggunakan rumus cos θ = (a . b) / (|a| |b|)
Hitung nilai θ menggunakan rumus arccos

Contoh soal:

Diberikan dua vektor a = (3, 4) dan b = (-2, 5). Hitunglah sudut antara kedua vektor tersebut.

Penyelesaian:

Dot product a . b = (3 x -2) + (4 x 5) = -6 + 20 = 14

Besarnya vektor a = √(3^2 + 4^2) = 5 dan besarnya vektor b = √((-2)^2 + 5^2) = √(4 + 25) = √29

cos θ = (14) / (5 x √29) = 0.846

θ = arccos(0.846) = 32.4 derajat

Sehingga sudut antara kedua vektor adalah 32.4 derajat.

Menggunakan Rumus Cross Product

Rumus cross product dikenal juga sebagai vector product. Rumus ini menghasilkan sebuah vektor yang tegak lurus atau ortogonal terhadap kedua vektor tersebut. Besarnya vektor hasil cross product tersebut adalah sama dengan luas persegi panjang yang dibentuk oleh kedua vektor. Sedangkan arah dari vektor hasil cross product ditentukan oleh aturan tangan kanan.

Langkah-langkah menghitung sudut antara dua vektor menggunakan rumus cross product adalah sebagai berikut:

Hitung cross product dari kedua vektor menggunakan rumus a x b = |a| |b| sin θ
Hitung besarnya masing-masing vektor menggunakan rumus |a| = √(a1^2 + a2^2 + a3^2) dan |b| = √(b1^2 + b2^2 + b3^2)
Hitung besarnya vektor hasil cross product menggunakan rumus |a x b| = √(a2 b3 – a3 b2)^2 + (a3 b1 – a1 b3)^2 + (a1 b2 – a2 b1)^2
Hitung sudut antara kedua vektor menggunakan rumus sin θ = (|a x b|) / (|a| |b|)
Hitung nilai θ menggunakan rumus arcsin

Contoh soal:

Diberikan dua vektor a = (2, 3, 4) dan b = (5, -1, 3). Hitunglah sudut antara kedua vektor tersebut.

Penyelesaian:

Cross product a x b = (3 x 3 – 4 x (-1), 4 x 5 – 2 x 3, 2 x (-1) – 3 x 5) = (15, 14, -17)

Besarnya vektor a = √(2^2 + 3^2 + 4^2) = √29 dan besarnya vektor b = √(5^2 + (-1)^2 + 3^2) = √35

|a x b| = √(15^2 + 14^2 + (-17)^2) = √766

sin θ = (√766) / (√29 x √35) = 0.913

θ = arcsin(0.913) = 67.2 derajat

Sehingga sudut antara kedua vektor adalah 67.2 derajat.

Kesimpulan

Sudut antara dua vektor adalah sudut di antara kedua vektor ketika ujungnya disatukan. Sudut antara dua vektor dapat dihitung menggunakan rumus dot product atau rumus cross product. Rumus dot product menghasilkan besaran skalar sedangkan rumus cross product menghasilkan vektor. Keduanya memiliki kelebihan dan kekurangan masing-masing. Oleh karena itu, sebaiknya kita memilih rumus yang paling mudah dan sesuai dengan kasus yang diberikan.

Terima kasih telah membaca artikel Cara Menghitung Sudut Antara Dua Vektor ini dan sampai jumpa kembali di artikel menarik BicaraFakta.com lainnya.