Pengertian Deret Aritmatika: Definisi, Rumus, Dan Contoh Perhitungan

Pengertian Deret Aritmatika

Deret aritmatika (arithmetic sequence) adalah suatu urutan bilangan yang setiap suku berbeda dengan suku sebelumnya dengan selisih yang tetap. Selisih yang tetap ini disebut beda (common difference) dan dilambangkan dengan d.

Secara umum, deret aritmatika dapat dinyatakan sebagai berikut:
a₁, a₂, a₃, …, aₙ

Dimana,
a₁ adalah suku pertama
a₂ adalah suku kedua
a₃ adalah suku ketiga
aₙ adalah suku ke-n

Beda pada deret aritmatika dapat dihitung dengan rumus:
d = a₂ – a₁ = a₃ – a₂ = … = aₙ – aₙ₋₁

Contoh:
Misalkan terdapat deret aritmatika dengan suku pertama 2 dan beda 3. Maka, deret tersebut dapat dituliskan sebagai berikut:
2, 5, 8, 11, 14, …

Dalam deret aritmatika, setiap suku dapat ditemukan dengan menggunakan rumus berikut:
aₙ = a₁ + (n – 1) x d

Contoh:
Dalam deret aritmatika dengan suku pertama 2 dan beda 3, suku ke-5 dapat dihitung dengan menggunakan rumus tersebut sebagai berikut:
a₅ = 2 + (5 – 1) x 3
= 2 + 12
= 14

Contoh Soal Deret Aritmatika

Contoh soal 1:
Hitunglah suku ke-10 dari deret aritmatika dengan suku pertama 4 dan beda 6!

Penyelesaian:
a₁ = 4
d = 6
n = 10

Maka,
aₙ = a₁ + (n – 1) x d
a₁₀ = 4 + (10 – 1) x 6
a₁₀ = 4 + 54
a₁₀ = 58

Jadi, suku ke-10 dari deret aritmatika dengan suku pertama 4 dan beda 6 adalah 58.

Contoh soal 2:
Jika suku ke-6 dari suatu deret aritmatika adalah 15 dan beda antar suku adalah 4, berapa nilai suku ke-13 dari deret tersebut?

Penyelesaian:
a₆ = 15
d = 4
n = 13

Maka,
aₙ = a₁ + (n – 1) x d
a₁₃ = a₁ + (13 – 1) x d
a₁₃ = a₆ + (13 – 6) x d
a₁₃ = 15 + 7 x 4
a₁₃ = 43

Jadi, nilai suku ke-13 dari deret aritmatika tersebut adalah 43.

Sifat-sifat Deret Aritmatika

Ada beberapa sifat dasar dari deret aritmatika yang perlu diketahui, yaitu:

1. Jumlah Suku
Jumlah suku pada deret aritmatika dapat dihitung dengan rumus:
Sₙ = n/2 x (a₁ + aₙ)

Contoh:
Dalam deret aritmatika dengan suku pertama 2 dan beda 3, jumlah 10 suku pertama dapat dihitung dengan menggunakan rumus tersebut sebagai berikut:
S₁₀ = 10/2 x (2 + 29)
S₁₀ = 10/2 x 31
S₁₀ = 155

Jadi, jumlah 10 suku pertama dari deret aritmatika dengan suku pertama 2 dan beda 3 adalah 155.

2. Suku Tengah
Suku tengah pada deret aritmatika dapat dihitung dengan rumus:
aₙ/₂ = (a₁ + aₙ) / 2

Contoh:
Dalam deret aritmatika dengan suku pertama 2 dan beda 3, suku tengahnya dapat dihitung dengan menggunakan rumus tersebut sebagai berikut:
a₅/₂ = (2 + 14) / 2
a₅/₂ = 8

Jadi, suku tengah dari deret aritmatika dengan suku pertama 2 dan beda 3 adalah 8.

3. Jumlah Selisih
Jumlah selisih pada deret aritmatika dengan n suku dapat dihitung dengan rumus:
Sd = n/2 x (2a₁ + (n – 1) x d)

Contoh:
Dalam deret aritmatika dengan suku pertama 2 dan beda 3, jumlah selisih 10 suku pertama dapat dihitung dengan menggunakan rumus tersebut sebagai berikut:
Sd = 10/2 x (2 x 2 + (10 – 1) x 3)
Sd = 10/2 x (4 + 27)
Sd = 10/2 x 31
Sd = 155

Jadi, jumlah selisih dari 10 suku pertama dari deret aritmatika dengan suku pertama 2 dan beda 3 adalah 155.

4. Jumlah Kuadrat Suku
Jumlah kuadrat suku pada deret aritmatika dapat dihitung dengan rumus:
Sk = n/6 x (n + 1) x (2n + 1) x d²

Contoh:
Dalam deret aritmatika dengan suku pertama 2 dan beda 3, jumlah kuadrat 10 suku pertama dapat dihitung dengan menggunakan rumus tersebut sebagai berikut:
Sk = 10/6 x (10 + 1) x (2 x 10 + 1) x 3²
Sk = 10/6 x 11 x 21 x 9
Sk = 3300

Jadi, jumlah kuadrat dari 10 suku pertama dari deret aritmatika dengan suku pertama 2 dan beda 3 adalah 3300.

Rumus Un dan Sn pada Deret Aritmatika

Selain rumus-rumus dasar yang telah dijelaskan sebelumnya, terdapat pula rumus Un (suku ke-n) dan Sn (jumlah n suku) pada deret aritmatika.

Rumus Un pada deret aritmatika adalah sebagai berikut:
aₙ = a₁ + (n – 1) x d

Rumus Sn pada deret aritmatika adalah sebagai berikut:
Sₙ = n/2 x (a₁ + aₙ)

Contoh Soal:
Dalam suatu deret aritmatika, diketahui suku pertama (a₁) adalah 3 dan beda (d) antar suku adalah 4. Jika n = 8, hitunglah suku ke-8 (a₈) dan jumlah 8 suku pertama (S₈) dari deret tersebut!

Penyelesaian:
a₁ = 3
d = 4
n = 8

Maka,
a₈ = a₁ + (8 – 1) x d
a₈ = 3 + 7 x 4
a₈ = 31

S₈ = 8/2 x (3 + 31)
S₈ = 4 x 34
S₈ = 136

Jadi, suku ke-8 dari deret aritmatika tersebut adalah 31, dan jumlah 8 suku pertamanya adalah 136.

Penyelesaian Soal dengan Metode Pertidaksamaan

Metode pertidaksamaan dapat digunakan untuk menyelesaikan soal-soal yang berkaitan dengan deret aritmatika. Pada metode ini, terdapat beberapa langkah yang perlu dilakukan, yaitu:

1. Tentukan suku pertama (a₁) dan beda (d) antar suku pada deret aritmatika yang diberikan.
2. Dengan menggunakan rumus Un, cari nilai suku ke-n (an) yang ingin dicari.
3. Tentukan banyaknya suku (n) dari deret aritmatika yang ingin dicari atau ditanyakan.
4. Gunakan rumus Sn untuk mencari jumlah n suku dari deret aritmatika tersebut.

Contoh Soal:
Dalam deret aritmatika 3, 7, 11, …, jika jumlah 15 suku pertamanya adalah 1350, tentukan suku ke-15 dari deret tersebut!

Penyelesaian:
1. a₁ = 3, d = 4
2. a₅ = a₁ + (5 – 1) x d
a₅ = 3 + 4 x 4
a