Memahami Konsep Deret Geometri Tak Hingga: Menghitung Suku Dan Nilai Tak Hingga Dari Exact Keyword Pada Judul

Pengertian Deret Geometri Tak Hingga

Deret geometri tak hingga adalah deret yang terdiri dari suku-suku yang mempunyai perbandingan tetap. Perbandingan antara suku-suku dalam deret geometri tak hingga disebut rasio atau r. Dalam deret geometri tak hingga, suku-suku yang terdapat di dalamnya tidak terbatas, baik ke arah positif maupun ke arah negatif.

Rumus untuk mencari suku ke-n dari deret geometri tak hingga adalah sebagai berikut:

a_n = a_1 x r^(n-1)

Di mana:
– a_n : suku ke-n
– a_1 : suku pertama
– r : rasio
– n : urutan suku ke-n

Jadi, untuk mencari suku ke-5 dari deret geometri tak hingga dengan suku pertama 2 dan rasio 3, kita dapat menggunakan rumus di atas:

a_5 = 2 x 3^(5-1)
a_5 = 2 x 3^4
a_5 = 2 x 81
a_5 = 162

Sehingga, suku ke-5 dari deret geometri tak hingga dengan suku pertama 2 dan rasio 3 adalah 162.

Contoh Soal Deret Geometri Tak Hingga

1. Tentukan suku ke-7 dari deret geometri tak hingga berikut: 5, 10, 20, 40, …

Untuk menyelesaikan soal ini, kita perlu mencari dulu rasio dari deret tersebut. Kita dapat mencari rasio dengan membagi suku-suku berurutan dalam deret:

10/5 = 2
20/10 = 2
40/20 = 2

Dari hasil pembagian tersebut, dapat kita simpulkan bahwa rasio deret tersebut adalah 2. Selanjutnya, kita dapat mencari suku ke-1 dengan menggunakan suku pertama, yaitu 5, dan rasio, yaitu 2:

a_1 = 5
r = 2
a_7 = a_1 x r^(n-1)
a_7 = 5 x 2^(7-1)
a_7 = 5 x 2^6
a_7 = 5 x 64
a_7 = 320

Sehingga, suku ke-7 dari deret geometri tak hingga tersebut adalah 320.

2. Tentukan suku ke-10 dari deret geometri tak hingga berikut: 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, …

Untuk menyelesaikan soal ini, kita perlu mencari dulu rasio dari deret tersebut. Kita dapat mencari rasio dengan membagi suku-suku berurutan dalam deret:

1/4 / 1/2 = 1/2
1/8 / 1/4 = 1/2
1/16 / 1/8 = 1/2

Dari hasil pembagian tersebut, dapat kita simpulkan bahwa rasio deret tersebut adalah 1/2. Selanjutnya, kita dapat mencari suku ke-1 dengan menggunakan suku pertama, yaitu 1/2, dan rasio, yaitu 1/2:

a_1 = 1/2
r = 1/2
a_10 = a_1 x r^(n-1)
a_10 = 1/2 x (1/2)^(10-1)
a_10 = 1/2 x (1/2)^9
a_10 = 1/2 x 1/512
a_10 = 1/1024

Sehingga, suku ke-10 dari deret geometri tak hingga tersebut adalah 1/1024.

Sifat-Sifat Deret Geometri Tak Hingga

1. Jika rasio deret geometri tak hingga lebih dari 1, maka deret tersebut tidak konvergen dan tidak terhingga ke arah positif.
2. Jika rasio deret geometri tak hingga antara 0 dan 1, maka deret tersebut konvergen dan terhingga ke arah positif.
3. Jika rasio deret geometri tak hingga sama dengan -1, maka deret tersebut tidak konvergen dan terhingga ke arah positif atau negatif, tergantung pada suku pertama.
4. Jika rasio deret geometri tak hingga kurang dari -1, maka deret tersebut tidak konvergen dan tidak terhingga ke arah negatif.

Penyelesaian Soal Deret Geometri Tak Hingga dengan Rasio Lebih Dari 1

Ketika rasio deret geometri tak hingga lebih dari 1, maka deret tidak konvergen dan tidak terhingga ke arah positif. Hal ini terjadi karena setiap suku berikutnya akan selalu lebih besar dari suku sebelumnya.

Contoh soal:
Tentukan jumlah tak terhingga dari deret geometri tak hingga berikut: 3, 6, 12, 24, …

Untuk menyelesaikan soal ini, kita perlu mencari dulu rasio dari deret tersebut. Kita dapat mencari rasio dengan membagi suku-suku berurutan dalam deret:

6/3 = 2
12/6 = 2
24/12 = 2

Dari hasil pembagian tersebut, dapat kita simpulkan bahwa rasio deret tersebut adalah 2. Karena rasio lebih dari 1, maka deret tidak konvergen dan tidak terhingga ke arah positif.

Kita dapat menggunakan rumus untuk jumlah deret geometri tak hingga dengan rasio lebih dari 1 sebagai berikut:

S = a_1 / (1 – r)

Di mana:
– S : jumlah tak terhingga
– a_1 : suku pertama
– r : rasio

Dalam contoh soal ini, suku pertama adalah 3 dan rasio adalah 2. Maka, jumlah tak terhingga dari deret geometri tak hingga tersebut adalah:

S = 3 / (1 – 2)
S = 3 / -1
S = -3

Sehingga, jumlah tak terhingga dari deret geometri tak hingga tersebut adalah -3.

Penyelesaian Soal Deret Geometri Tak Hingga dengan Rasio Antara 0 dan 1

Ketika rasio deret geometri tak hingga antara 0 dan 1, maka deret tersebut konvergen dan terhingga ke arah positif. Hal ini terjadi karena setiap suku berikutnya akan selalu lebih kecil dari suku sebelumnya.

Contoh soal:
Tentukan jumlah 5 suku pertama dari deret geometri tak hingga berikut: 2, 1, 1/2, 1/4, …

Untuk menyelesaikan soal ini, kita perlu mencari dulu rasio dari deret tersebut. Kita dapat mencari rasio dengan membagi suku-suku berurutan dalam deret:

1/2 / 1 = 1/2
1/4 / 1/2 = 1/2
1/8 / 1/4 = 1/2

Dari hasil pembagian tersebut, dapat kita simpulkan bahwa rasio deret tersebut adalah 1/2. Karena rasio antara 0 dan 1, maka deret tersebut konvergen dan terhingga ke arah positif.

Kita dapat menggunakan rumus untuk jumlah n suku pertama dari deret geometri tak hingga dengan rasio antara 0 dan 1 sebagai berikut:

S_n = a_1 x (1 – r^n) / (1 – r)

Di mana:
– S_n : jumlah n suku pertama
– a_1 : suku pertama
– r : rasio
– n : jumlah suku pertama yang akan dijumlahkan

Dalam contoh soal ini, suku pertama adalah 2 dan rasio adalah 1/2. Maka, jumlah 5 suku pertama dari deret geometri tak hingga tersebut adalah:

S_5 = 2 x (1 – (1/2)^5) / (1 – 1/2)
S_5 = 2 x (1 – 1/32) / 1/2
S_5 = 2 x 31/32 / 1/2
S_5 = 31

Sehingga, jumlah 5 suku pertama dari deret geometri tak hingga tersebut adalah 31.

Penyelesaian Soal Deret Geometri Tak Hingga dengan Rasio Sama dengan -1

Ketika rasio deret geometri tak hingga sama dengan -1, maka deret tersebut tidak konvergen dan terhingga ke arah positif atau negatif, ter