Pengertian Barisan Geometri

Barisan Geometri adalah suatu deret bilangan yang tiap-tiap suku setelah suku pertama merupakan hasil kali suku sebelumnya dengan suatu bilangan tetap yang disebut rasio. Rasio ini biasanya dinotasikan dengan huruf r. Dalam matematika, barisan geometri sering kali dikenal juga dengan istilah barisan bilangan berpola. Barisan geometri dapat digunakan untuk menghitung penghasilan, jumlah penduduk, depresiasi dan masih banyak lagi.

Rumus Barisan Geometri

Barisan geometri memiliki rumus sebagai berikut:

a_n = a_1 . r^(n-1)

Keterangan:
a_n = suku ke-n
a_1 = suku pertama
r = rasio
n = jumlah suku

Contoh Soal dan Penyelesaian

Contoh 1:
Diketahui barisan geometri dengan suku pertama 2 dan rasio 3. Tentukan suku ke-5!

Penyelesaian:
a_1 = 2
r = 3
n = 5

a_5 = a_1 . r^(n-1)
a_5 = 2 . 3^(5-1)
a_5 = 2 . 3^4
a_5 = 2 . 81
a_5 = 162

Jadi, suku ke-5 dari barisan geometri tersebut adalah 162.

Contoh 2:
Diketahui barisan geometri dengan suku pertama 5 dan rasio 2. Tentukan suku ke-8!

Penyelesaian:
a_1 = 5
r = 2
n = 8

a_8 = a_1 . r^(n-1)
a_8 = 5 . 2^(8-1)
a_8 = 5 . 2^7
a_8 = 5 . 128
a_8 = 640

Jadi, suku ke-8 dari barisan geometri tersebut adalah 640.

Contoh 3:
Diketahui barisan geometri dengan suku pertama 1 dan rasio 1/2. Tentukan suku ke-6!

Penyelesaian:
a_1 = 1
r = 1/2
n = 6

a_6 = a_1 . r^(n-1)
a_6 = 1 . (1/2)^(6-1)
a_6 = 1 . (1/2)^5
a_6 = 1 . 1/32
a_6 = 1/32

Jadi, suku ke-6 dari barisan geometri tersebut adalah 1/32.

Unsur-unsur Barisan Geometri

Barisan geometri terdiri atas beberapa unsur, yaitu:

1. Suku pertama (a_1)
Suku pertama merupakan suku yang terletak pada urutan pertama dalam barisan geometri.

2. Rasio (r)
Rasio merupakan bilangan tetap yang menjadi hasil kali setiap anggota barisan geometri.

3. Suku ke-n (a_n)
Suku ke-n merupakan anggota barisan geometri yang terletak pada urutan ke-n.

4. Jumlah suku (n)
Jumlah suku merupakan jumlah anggota pada barisan geometri.

5. Beda (d)
Beda merupakan selisih antara dua suku berturut-turut pada barisan geometri.

Sifat-sifat Barisan Geometri

Barisan geometri memiliki beberapa sifat, yaitu:

1. Jumlah suku tak terbatas
Barisan geometri memiliki jumlah suku yang tak terbatas jika rasio (r) bernilai lebih besar dari 1 atau lebih kecil dari -1 dan suku pertama (a_1) tidak sama dengan 0.

2. Jumlah suku terbatas
Barisan geometri memiliki jumlah suku yang terbatas jika rasio (r) bernilai lebih besar dari -1 dan kurang dari 1.

3. Jumlah semua suku
Jumlah semua suku pada barisan geometri dapat dihitung dengan rumus:

S_n = a_1 . [(1 – r^n)/(1 – r)]

Keterangan:
S_n = jumlah suku ke-n
a_1 = suku pertama
r = rasio
n = jumlah suku

4. Jumlah tak terbatas
Jumlah tak terbatas pada barisan geometri dapat dihitung dengan rumus:

S = a_1/(1 – r)

Keterangan:
S = jumlah tak terbatas
a_1 = suku pertama
r = rasio

5. Suku ke-n
Suku ke-n pada barisan geometri dapat dihitung dengan rumus:

a_n = a_1 . r^(n-1)

Keterangan:
a_n = suku ke-n
a_1 = suku pertama
r = rasio
n = jumlah suku

6. Beda
Beda antara dua suku berturut-turut pada barisan geometri dapat dihitung dengan rumus:

d = a_(n+1) – a_n
d = a_2 – a_1
d = r . a_1 – a_1
d = a_1 . (r – 1)

Keterangan:
d = beda
a_n = suku ke-n
a_1 = suku pertama
r = rasio

Kesimpulan

Barisan geometri adalah deret bilangan yang tiap-tiap suku setelah suku pertama merupakan hasil kali suku sebelumnya dengan suatu bilangan tetap yang disebut rasio. Barisan geometri memiliki rumus a_n = a_1 . r^(n-1) dan unsur-unsur seperti suku pertama, rasio, suku ke-n, jumlah suku, dan beda. Barisan geometri memiliki sifat-sifat seperti jumlah suku tak terbatas, jumlah suku terbatas, jumlah semua suku, jumlah tak terbatas, suku ke-n, dan beda. Dengan pemahaman rumus dan sifat-sifat barisan geometri, kita dapat mengaplikasikan matematika dalam kehidupan sehari-hari.